Aprenda Implementando Vetores em Python | Fundamentos de Álgebra Linear

Definindo Vetores em Python

Em Python, utilizam-se arrays do NumPy para definir vetores 2D da seguinte forma:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Esses representam os vetores:

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

Agora, eles podem ser somados, subtraídos ou utilizados em cálculos de produto escalar e magnitude.

Adição de Vetores

Para calcular a adição de vetores:


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Isso realiza:

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Isso corresponde à regra para adição de vetores:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Magnitude do Vetor (Comprimento)

Para calcular a magnitude em Python:

np.linalg.norm(v)

Para o vetor [3, 4]:


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

Isto utiliza a fórmula:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Produto Escalar

Para calcular o produto escalar:


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

O que resulta em:

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

Regra geral do produto escalar:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Visualizando Vetores com Matplotlib

É possível utilizar a função quiver() do Matplotlib para desenhar setas que representam vetores e seu resultante. Cada seta indica a posição, direção e magnitude de um vetor.

Azul: $\vec{v}_1$ , desenhado a partir da origem;
Verde: $\vec{v}_2$ , começando na extremidade de $\vec{v}_1$ ;
Vermelho: vetor resultante, desenhado da origem até a ponta final.

Exemplo:


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

Parâmetros (com base na primeira chamada de quiver):

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – ponto inicial do vetor (origem);
2, 1 – componentes do vetor nas direções x e y;
color='blue' – define a cor da seta como azul;
angles='xy' – desenha a seta usando coordenadas cartesianas (plano x–y);
scale_units='xy' – dimensiona a seta de acordo com as mesmas unidades dos eixos;
scale=1 – mantém o comprimento real da seta (sem escala automática).

Este gráfico mostra a adição de vetores pelo método da ponta à cauda, onde o vetor vermelho representa a soma $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ .

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Seção 4. Capítulo 2

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