Summary  
This chapter demonstrates how to define a matrix in Python, compute its eigenvalues and eigenvectors using numpy’s eig function, and validate each eigenpair by checking that A @ v equals λ * v.  

General domain of usage  
Scientific computing

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Print eigenvalues and eigenvectors
print(f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}')
print(f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}')

`eig()` da biblioteca `numpy` calcula as soluções para a equação:

$$
A v = \lambda v
$$

* `eigenvalues`: uma lista de escalares $$\lambda$$ que multiplicam os autovetores;
* `eigenvectors`: colunas que representam $$v$$ (direções que não mudam sob a transformação).

## Validação de Cada Par (Etapa Fundamental)

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Verify that A @ v = λ * v for each eigenpair
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Pair {i + 1}:')
    λ = eigenvalues[i]
    v = eigenvectors[:, i].reshape(-1, 1)
    print(f'A * v:\n{A @ v}')
    print(f'lambda * v:\n{λ * v}')

Isso verifica se:

$$
A v = \lambda v
$$

Os dois lados devem coincidir de forma aproximada, o que confirma a correção. Este é o método para validar propriedades teóricas numericamente.

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Implementando Autovetores e Autovalores em Python

Cálculo de Autovalores e Autovetores

Validação de Cada Par (Etapa Fundamental)

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