Summary  
This chapter shows how to use Python’s SymPy library to define symbolic multivariable functions, compute their partial derivatives with respect to each variable, evaluate those derivatives at given points, and printing the results.

General domain of usage  
Optimization

Neste vídeo, você aprenderá como calcular **derivadas parciais** de funções multivariáveis usando Python. Elas são essenciais em **otimização, aprendizado de máquina e ciência de dados** para analisar como uma função varia em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes.


## 1. Definindo uma Função Multivariável
```
x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2
```
- Aqui, $$x$$ e $$y$$ são definidos como variáveis simbólicas;
- Em seguida, definimos a função $$f(x, y) = 4x^3y + 5y^2$$.


## 2. Calculando Derivadas Parciais
```
df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)  
```
- `sp.diff(f, x)` calcula $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ tratando $$y$$ como constante;
- `sp.diff(f, y)` calcula $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ tratando $$x$$ como constante.


## 3. Avaliação das Derivadas Parciais em (x=1, y=2)
```
df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})
```
- A função `.subs({x: 1, y: 2})` substitui $$x=1$$ e $$y=2$$ nas derivadas calculadas;
- Isso permite **avaliar numericamente** as derivadas em um ponto específico.


## 4. Impressão dos Resultados

Impressão da **função original**, de suas **derivadas parciais** e de suas **avaliações** em $$(1,2)$$.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2

df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)

df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})

print("Function: f(x, y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx)
print("∂f/∂y =", df_dy)
print("∂f/∂x at (1,2) =", df_dx_val)
print("∂f/∂y at (1,2) =", df_dy_val)

O que `sp.diff(f, y)` retornará para a função dada?

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Implementação de Derivadas Parciais em Python

1. Definindo uma Função Multivariável

2. Calculando Derivadas Parciais

3. Avaliação das Derivadas Parciais em (x=1, y=2)

4. Impressão dos Resultados