Em Python, é possível calcular derivadas simbolicamente utilizando o sympy e visualizá-las com o matplotlib.

1. Cálculo Simbólico de Derivadas

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Explicação:

• Definimos x como uma variável simbólica usando sp.symbols('x');
• A função sp.diff(f, x) calcula a derivada de f em relação a x;
• Isso permite manipular derivadas de forma algébrica em Python.

2. Avaliação e Plotagem de Funções e Suas Derivadas

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Explicação:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') converte uma função simbólica em uma função numérica que pode ser avaliada usando numpy;
• Isso é necessário porque matplotlib e numpy operam em arrays numéricos, não em expressões simbólicas.

3. Impressão das Avaliações das Derivadas em Pontos-Chave

Para verificar nossos cálculos, imprimimos os valores das derivadas em x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)