Aprenda Introdução aos Integrais | Análise Matemática

Definição

Integração é um conceito fundamental no cálculo que representa a acumulação total de uma quantidade, como a área sob uma curva. É essencial em ciência de dados para calcular distribuições de probabilidade, valores acumulados e otimização.

Integral Básica

A integral básica de uma função potência segue esta regra:

\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Onde:

$C$ é uma constante;
$n \neq -1$ ;
$...+C$ representa uma constante arbitrária de integração.

Ideia principal: se a diferenciação reduz o expoente de $x$ , a integração o aumenta.

Regras Comuns de Integração

Regra da Potência para Integração

Esta regra auxilia na integração de qualquer expressão polinomial:

\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Por exemplo, se $n = 2$ :

\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Regra Exponencial

A integral da função exponencial $e^x$ é única porque permanece a mesma após a integração:

\int e^x dx = e^x + C

Mas se tivermos um expoente com um coeficiente, utilizamos outra regra:

\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Por exemplo, se $a = 2$ :

\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Integrais Trigonométricas

As funções seno e cosseno também seguem regras diretas de integração:

\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C

Integrais Definidas

Diferentemente das integrais indefinidas, que incluem uma constante arbitrária $C$ , as integrais definidas avaliam uma função entre dois limites $a$ e $b$ :

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Onde $F(x)$ é a primitiva de $f(x)$ .

Por exemplo, se $f(x) = 2x$ , $a = 0$ e $b = 2$ :

\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Isso significa que a área sob a curva $y = 2x$ de $x=0$ até $x=2$ é $4$ .

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 3. Capítulo 5

Pergunte à IA

Pergunte o que quiser ou experimente uma das perguntas sugeridas para iniciar nosso bate-papo

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Deslize para mostrar o menu