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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprenda Introdução aos Limites | Análise Matemática
Matemática para Ciência de Dados

bookIntrodução aos Limites

Note
Definição

Limite é um conceito fundamental em cálculo que descreve o valor que uma função se aproxima à medida que sua entrada se aproxima de um ponto específico. Limites formam a base para a definição de derivadas e integrais, tornando-se essenciais na análise matemática e na otimização em aprendizado de máquina.

Definição Formal & Notação

Um limite representa o valor que uma função se aproxima à medida que a entrada se aproxima arbitrariamente de um ponto.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Isso significa que, à medida que xx se aproxima arbitrariamente de aa, f(x)f(x) se aproxima de LL.

Note
Observação

A função não precisa estar definida em x=ax=a para que o limite exista.

Limites Laterais e Limite Duplo

Um limite pode ser abordado por qualquer um dos lados:

  • Limite à esquerda: aproximação de aa por valores menores que aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Limite à direita: aproximação de aa por valores maiores que aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • O limite existe somente se ambos os limites laterais forem iguais:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Quando Limites Não Existem

Um limite não existe nos seguintes casos:

  • Descontinuidade de salto:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Exemplo: uma função degrau onde os limites à esquerda e à direita são diferentes.
  • Limite infinito:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • A função cresce sem limites.
  • Oscilação:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • A função oscila infinitamente sem se estabilizar em um único valor.

Caso Especial – Limites no Infinito

Quando xx tende ao infinito, analisa-se o comportamento assintótico das funções:

  • Funções racionais:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Crescimento polinomial:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regra do termo dominante:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
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Qual afirmação descreve corretamente quando um limite existe?

Select the correct answer

Tudo estava claro?

Como podemos melhorá-lo?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 3. Capítulo 1

Pergunte à IA

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Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?

What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

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Definição

Limite é um conceito fundamental em cálculo que descreve o valor que uma função se aproxima à medida que sua entrada se aproxima de um ponto específico. Limites formam a base para a definição de derivadas e integrais, tornando-se essenciais na análise matemática e na otimização em aprendizado de máquina.

Definição Formal & Notação

Um limite representa o valor que uma função se aproxima à medida que a entrada se aproxima arbitrariamente de um ponto.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Isso significa que, à medida que xx se aproxima arbitrariamente de aa, f(x)f(x) se aproxima de LL.

Note
Observação

A função não precisa estar definida em x=ax=a para que o limite exista.

Limites Laterais e Limite Duplo

Um limite pode ser abordado por qualquer um dos lados:

  • Limite à esquerda: aproximação de aa por valores menores que aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Limite à direita: aproximação de aa por valores maiores que aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • O limite existe somente se ambos os limites laterais forem iguais:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Quando Limites Não Existem

Um limite não existe nos seguintes casos:

  • Descontinuidade de salto:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Exemplo: uma função degrau onde os limites à esquerda e à direita são diferentes.
  • Limite infinito:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • A função cresce sem limites.
  • Oscilação:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • A função oscila infinitamente sem se estabilizar em um único valor.

Caso Especial – Limites no Infinito

Quando xx tende ao infinito, analisa-se o comportamento assintótico das funções:

  • Funções racionais:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Crescimento polinomial:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regra do termo dominante:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
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