Aprenda Introdução às Derivadas | Análise Matemática

Definição

Uma derivada é uma medida de como uma função varia à medida que sua entrada muda. Representa a taxa de variação da função e é fundamental para analisar tendências, otimizar processos e prever comportamentos em áreas como física, economia e aprendizado de máquina.

Definição de Limite de uma Derivada

A derivada de uma função $f(x)$ em um ponto específico $x = a$ é dada por:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Esta fórmula indica quanto $f(x)$ varia ao darmos um pequeno passo $h$ ao longo do eixo x. Quanto menor for $h$ , mais próximo estaremos da taxa de variação instantânea.

Regras Básicas de Derivação

Regra do Expoente

Se uma função é uma potência de $x$ , a derivada segue:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Isso significa que, ao derivar, trazemos o expoente para baixo e reduzimos em uma unidade:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Regra da Constante

A derivada de qualquer constante é zero:

\frac{d}{dx}C=0

Por exemplo, se $f(x) = 5$ , então:

\frac{d}{dx}5=0

Regra da Soma e Diferença

A derivada de uma soma ou diferença de funções segue:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Por exemplo, diferenciando separadamente:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Regras do Produto e Quociente

Regra do Produto

Se duas funções são multiplicadas, a derivada é encontrada da seguinte forma:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Isso significa que diferenciamos cada função separadamente e depois somamos seus produtos. Se $f(x)=x^2$ e $g(x) = e^x$ , então:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Regra do Quociente

Ao dividir funções, utilize:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Se $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+1$ , então:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Regra da Cadeia: Diferenciação de Funções Compostas

Ao diferenciar funções aninhadas, utilize:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Por exemplo, se $y = (3x + 2)^5$ , então:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Esta regra é fundamental em redes neurais e algoritmos de aprendizado de máquina.

Exemplo da Regra da Cadeia com Exponencial:

Ao diferenciar uma expressão como:

y =e^{2x^2}

Trata-se de uma função composta:

Função externa: $e^u$
Função interna: $u = 2x^2$

Aplique a regra da cadeia passo a passo:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Em seguida, multiplique pelo exponencial original:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Estude Mais

Em aprendizado de máquina e redes neurais, isso aparece ao trabalhar com ativações exponenciais ou funções de perda.

Exemplo da Regra da Cadeia Logarítmica:

Vamos diferenciar $\ln(2x)$ . Novamente, é uma função composta — logaritmo por fora, linear por dentro.

Diferencie a parte interna:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Agora aplique a regra da cadeia ao logaritmo:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Que simplifica para:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Nota

Mesmo ao diferenciar $\ln(kx)$ , o resultado é sempre $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ porque as constantes se anulam.

Caso Especial: Derivada da Função Sigmoide

A função sigmoide é comumente utilizada em aprendizado de máquina:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Sua derivada desempenha um papel fundamental na otimização:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Se $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , então:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Esta fórmula garante que os gradientes permaneçam suaves durante o treinamento.

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Seção 3. Capítulo 3

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