Aprenda Implementação de Limites em Python

Antes de explorar como os limites se comportam visualmente, é necessário saber como calculá-los diretamente usando a biblioteca sympy. Aqui estão três tipos comuns de limites que você encontrará.

1. Limite Finito

Este exemplo mostra uma função que se aproxima de um valor finito específico quando $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite que Não Existe

Neste caso, a função se comporta de maneira diferente pelos lados esquerdo e direito, portanto o limite não existe.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite Infinito

Este exemplo mostra uma função que se aproxima de zero à medida que (x) cresce infinitamente.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Estes pequenos trechos demonstram como utilizar sympy.limit() para calcular diferentes tipos de limites - finitos, indefinidos e infinitos - antes de analisá-los graficamente

Definindo as Funções

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: função linear simples em que os limites laterais esquerdo e direito divergem;
f_same: função recíproca clássica, aproximando-se do mesmo limite de ambos os lados;
f_special: limite bem conhecido em cálculo, que é igual a 1 quando $x \to 0$ .

Tratando Divisão por Zero

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

A função f_same = 1/x apresenta um problema em $x = 0$ (divisão por zero), então substituímos esse valor por NaN (Not a Number) para evitar erros;
Para f_special, sabe-se que $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , portanto, atribuímos manualmente $1$ quando $x = 0$ .

Plotando Assíntotas Horizontais

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

A função 1/x possui uma assíntota horizontal em $y = 0$ ;
A função sin(x)/x tende a $y = 1$ , então adicionamos uma linha vermelha tracejada para maior clareza visual.

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Seção 3. Capítulo 2

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