Aprenda Implementação de Limites em Python

Antes de explorar como os limites se comportam visualmente, é necessário saber como calculá-los diretamente usando a biblioteca sympy. Aqui estão três tipos comuns de limites que você encontrará.

1. Limite Finito

Este exemplo mostra uma função que se aproxima de um valor finito específico quando $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite que Não Existe

Neste caso, a função se comporta de maneira diferente pelos lados esquerdo e direito, portanto o limite não existe.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite Infinito

Este exemplo mostra uma função que se aproxima de zero à medida que (x) cresce infinitamente.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Estes pequenos trechos demonstram como utilizar sympy.limit() para calcular diferentes tipos de limites - finitos, indefinidos e infinitos - antes de analisá-los graficamente

Definindo as Funções

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: função linear simples em que os limites laterais esquerdo e direito divergem;
f_same: função recíproca clássica, aproximando-se do mesmo limite de ambos os lados;
f_special: limite bem conhecido em cálculo, que é igual a 1 quando $x \to 0$ .

Tratando Divisão por Zero

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

A função f_same = 1/x apresenta um problema em $x = 0$ (divisão por zero), então substituímos esse valor por NaN (Not a Number) para evitar erros;
Para f_special, sabe-se que $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , portanto, atribuímos manualmente $1$ quando $x = 0$ .

Plotando Assíntotas Horizontais

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

A função 1/x possui uma assíntota horizontal em $y = 0$ ;
A função sin(x)/x tende a $y = 1$ , então adicionamos uma linha vermelha tracejada para maior clareza visual.

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Seção 3. Capítulo 2

Pergunte à IA

Pergunte o que quiser ou experimente uma das perguntas sugeridas para iniciar nosso bate-papo

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

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