Aprenda Introdução às Séries | Conjuntos e Séries

Definição

Uma série é uma expressão matemática formada pela soma dos termos de uma sequência. Os tipos mais comuns são a série aritmética e a série geométrica, que diferem na forma como seus termos progridem.

Série Aritmética

Uma série aritmética é formada quando a diferença entre termos consecutivos em uma sequência é constante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{diferença comum}, d = 3)

A soma dos primeiros $n$ termos de uma série aritmética é dada por:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Onde:

$n$ - número de termos;
$a$ - primeiro termo;
$l$ - último termo.

Alternativamente, se o último termo $l$ não for conhecido:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exemplo

Encontrar a soma dos 10 primeiros termos da série $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica é formada quando cada termo da sequência é multiplicado por uma razão fixa para obter o próximo termo.

3,6,12,24,48,...;(\text{razão comum}, r=2)

A soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica é dada por:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Onde:

$a$ - primeiro termo;
$r$ - razão comum;
$n$ - número de termos.

Se a série for infinita e $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Exemplo:

Determinar a soma dos 4 primeiros termos da série $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Aplicações no Mundo Real

Progressões aritméticas e geométricas aparecem em diversos contextos de ciência de dados:

Crescimento populacional e modelagem de recursos por meio de progressões geométricas;
Análise financeira utilizando cálculos de juros compostos;
Projeção de receitas ao longo de períodos;
Aprendizado de máquina, onde somatórios ocorrem em algoritmos como o gradiente descendente.

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 2. Capítulo 4

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Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

Can you show more real-world examples where these series are used?

How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

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Série Aritmética

Uma série aritmética é formada quando a diferença entre termos consecutivos em uma sequência é constante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{diferença comum}, d = 3)

A soma dos primeiros $n$ termos de uma série aritmética é dada por:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Onde:

$n$ - número de termos;
$a$ - primeiro termo;
$l$ - último termo.

Alternativamente, se o último termo $l$ não for conhecido:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exemplo

Encontrar a soma dos 10 primeiros termos da série $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica é formada quando cada termo da sequência é multiplicado por uma razão fixa para obter o próximo termo.

3,6,12,24,48,...;(\text{razão comum}, r=2)

A soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão geométrica é dada por:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Onde:

$a$ - primeiro termo;
$r$ - razão comum;
$n$ - número de termos.

Se a série for infinita e $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Exemplo:

Determinar a soma dos 4 primeiros termos da série $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Aplicações no Mundo Real

Progressões aritméticas e geométricas aparecem em diversos contextos de ciência de dados:

Crescimento populacional e modelagem de recursos por meio de progressões geométricas;
Análise financeira utilizando cálculos de juros compostos;
Projeção de receitas ao longo de períodos;
Aprendizado de máquina, onde somatórios ocorrem em algoritmos como o gradiente descendente.

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