Operações de Álgebra Linear

O TensorFlow oferece um conjunto de funções dedicadas às operações de álgebra linear, facilitando as operações com matrizes.

Multiplicação de Matrizes

Segue um breve lembrete de como funciona a multiplicação de matrizes.

Existem duas abordagens equivalentes para a multiplicação de matrizes:

A função tf.matmul();
Utilização do operador @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Nota

Multiplicar matrizes de tamanho 3x2 e 2x4 resultará em uma matriz de 3x4.

Inversão de Matrizes

É possível obter a inversa de uma matriz utilizando a função tf.linalg.inv(). Além disso, vamos verificar uma propriedade fundamental da matriz inversa.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Nota

Multiplicar uma matriz por sua inversa deve resultar em uma matriz identidade, que possui uns na diagonal principal e zeros em todas as outras posições. Além disso, o módulo tf.linalg oferece uma ampla variedade de funções de álgebra linear. Para mais detalhes ou operações avançadas, consulte a documentação oficial.

Transposição

É possível obter uma matriz transposta utilizando a função tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Produto Escalar

É possível obter um produto escalar utilizando a função tf.tensordot(). Ao configurar o argumento axes, é possível escolher ao longo de quais eixos calcular o produto escalar. Por exemplo, para dois vetores, ao definir axes=1, obtém-se o produto escalar clássico entre vetores. Porém, ao definir axes=0, obtém-se uma matriz transmitida ao longo do eixo 0:


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Nota

Se você pegar duas matrizes com dimensões apropriadas (NxM @ MxK, onde NxM representa as dimensões da primeira matriz e MxK da segunda), e calcular o produto escalar ao longo de axes=1, isso realiza essencialmente a multiplicação de matrizes.

Tarefa

Swipe to start coding

Contexto

Um sistema de equações lineares pode ser representado em forma matricial utilizando a equação:

AX = B

Onde:

A é uma matriz de coeficientes;
X é uma matriz coluna de variáveis;
B é uma matriz coluna representando os valores do lado direito das equações.

A solução para esse sistema pode ser encontrada utilizando a fórmula:

X = A^-1 B

Onde A^-1 é a inversa da matriz A.

Objetivo

Dado um sistema de equações lineares, utilize o TensorFlow para resolvê-lo. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Represente o sistema de equações em forma matricial (separe em matrizes A e B).
Utilizando o TensorFlow, encontre a inversa da matriz A.
Multiplique a inversa da matriz A pela matriz B para encontrar a matriz solução X, que contém os valores de x, y e z.

Nota

O fatiamento (slicing) no TensorFlow funciona de maneira semelhante ao NumPy. Portanto, X[:, 0] irá recuperar todos os elementos da coluna de índice 0. Abordaremos o fatiamento mais adiante no curso.

Solução

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 1. Capítulo 9

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O TensorFlow oferece um conjunto de funções dedicadas às operações de álgebra linear, facilitando as operações com matrizes.

Multiplicação de Matrizes

Segue um breve lembrete de como funciona a multiplicação de matrizes.

Existem duas abordagens equivalentes para a multiplicação de matrizes:

A função tf.matmul();
Utilização do operador @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Nota

Multiplicar matrizes de tamanho 3x2 e 2x4 resultará em uma matriz de 3x4.

Inversão de Matrizes

É possível obter a inversa de uma matriz utilizando a função tf.linalg.inv(). Além disso, vamos verificar uma propriedade fundamental da matriz inversa.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Nota

Transposição

É possível obter uma matriz transposta utilizando a função tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Produto Escalar


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Nota

Tarefa

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Contexto

Um sistema de equações lineares pode ser representado em forma matricial utilizando a equação:

AX = B

Onde:

A é uma matriz de coeficientes;
X é uma matriz coluna de variáveis;
B é uma matriz coluna representando os valores do lado direito das equações.

A solução para esse sistema pode ser encontrada utilizando a fórmula:

X = A^-1 B

Onde A^-1 é a inversa da matriz A.

Objetivo

Dado um sistema de equações lineares, utilize o TensorFlow para resolvê-lo. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Represente o sistema de equações em forma matricial (separe em matrizes A e B).
Utilizando o TensorFlow, encontre a inversa da matriz A.
Multiplique a inversa da matriz A pela matriz B para encontrar a matriz solução X, que contém os valores de x, y e z.

Nota

O fatiamento (slicing) no TensorFlow funciona de maneira semelhante ao NumPy. Portanto, X[:, 0] irá recuperar todos os elementos da coluna de índice 0. Abordaremos o fatiamento mais adiante no curso.

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