Equação de Regressão Linear com N Variáveis

Como vimos, adicionar uma nova variável ao modelo de regressão linear é tão simples quanto incluí-la junto com o novo parâmetro na equação do modelo. Podemos adicionar muito mais do que dois parâmetros dessa forma.

Onde:

• $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – são os parâmetros do modelo;
• $y_{\text{pred}}$ – é a previsão do alvo;
• $x_1$ – é o valor da primeira variável;
• $x_2$ – é o valor da segunda variável;
• $\dots$
• $x_n$ – é o valor da n-ésima variável.

Equação Normal

O único problema é a visualização. Se tivermos dois parâmetros, precisamos construir um gráfico 3D. Mas se tivermos mais de dois parâmetros, o gráfico será de mais de três dimensões. Porém, vivemos em um mundo tridimensional e não conseguimos imaginar gráficos de dimensões superiores. No entanto, não é necessário visualizar o resultado. Só precisamos encontrar os parâmetros para que o modelo funcione. Felizmente, é relativamente fácil encontrá-los. A tradicional Equação Normal nos ajudará:

Onde:

• $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – são os parâmetros do modelo;
• $\tilde{X}$ – é uma matriz que contém 1s como primeira coluna, e $X_1 - X_n$ como as demais colunas:

• $X_k$ – é um array dos valores da k-ésima variável do conjunto de treino;
• $y_{\text{true}}$ – é um array dos valores alvo do conjunto de treino.

Matriz X̃

Observe que apenas a matriz X̃ foi alterada. É possível considerar as colunas dessa matriz como sendo cada uma responsável por seu parâmetro β. O vídeo a seguir explica esse conceito.

A primeira coluna de 1s é necessária para encontrar o parâmetro β₀.