O Problema da Regressão Linear

Antes de definir a Regressão Polinomial, vamos analisar o caso em que a Regressão Linear que aprendemos anteriormente não apresenta um bom desempenho.

Aqui é possível observar que nosso modelo simples de regressão linear está apresentando um desempenho insatisfatório. Isso ocorre porque ele tenta ajustar uma linha reta aos pontos de dados. No entanto, podemos notar que ajustar uma parábola seria uma escolha muito melhor para nossos pontos.

Equação da Regressão Quadrática

Para construir um modelo de linha reta, utilizamos a equação de uma linha (y=ax+b). Portanto, para construir um modelo parabólico, precisamos da equação de uma parábola. Esta é a equação quadrática: $y=ax²+bx+c$. Alterando $a$, $b$ e $c$ para $β$, obtemos a Equação da Regressão Quadrática:

Onde:

• $\beta_0, \beta_1, \beta_2$ – são os parâmetros do modelo;
• $y_{\text{pred}}$ – é a previsão do alvo;
• $x$ – é o valor da característica.

O modelo descrito por esta equação é chamado de Regressão Quadrática. Assim como antes, precisamos apenas encontrar os melhores parâmetros para nossos pontos de dados.

Equação Normal e X̃

Como sempre, a Equação Normal é responsável por encontrar os melhores parâmetros. No entanto, precisamos definir corretamente o X̃.

Já sabemos como construir a matriz X̃ para Regressão Linear Múltipla. Acontece que a matriz X̃ para Regressão Polinomial é construída de forma semelhante. Podemos considerar x² como uma segunda característica. Dessa forma, precisamos adicionar uma nova coluna correspondente à X̃. Ela conterá os mesmos valores da coluna anterior, porém elevados ao quadrado.

O vídeo abaixo mostra como construir a X̃.