Teorema de Bayes
O teorema de Bayes é um conceito fundamental na teoria das probabilidades que permite atualizar nossas crenças ou probabilidades com base em novas evidências. Já consideramos a lei da probabilidade total, o teorema de Bayes é muito semelhante a essa lei. Vamos analisar a formulação:
Vamos fornecer explicações:
- É necessário dividir nosso espaço de eventos elementares em
ndiferentes eventos incompatíveis; - Sabemos que o evento A resulta do experimento estocástico. Isso significa que A já ocorreu;
- Queremos entender em qual segmento H realizamos o experimento, calculando a respectiva probabilidade condicional.
Exemplo
Suponha que um teste médico para diabetes tenha precisão de 90% na detecção de uma doença específica.
A doença é rara e ocorre em apenas 1% da população. Se uma pessoa testa positivo para a doença, qual é a probabilidade de que ela realmente tenha a doença?
Solução
Para resolver este problema, é necessário considerar que o teste pode apresentar falso positivo e falso negativo. Por isso, precisamos utilizar o teorema de Bayes.
H₁: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter diabetes é 0.01.
H₂: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente não ter diabetes é 0.99.
A: o resultado do teste é positivo (diabetes detectada pelo teste).
P(A|H₁): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro positivo).
P(not A|H₂): a probabilidade de o teste não detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro negativo).
P(A|H₂): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (resultado falso positivo).
Precisamos encontrar P(H₁|A) - a probabilidade de uma pessoa realmente estar doente se o teste detectar diabetes
12345678910111213141516# Prior probabilities P_diabetes = 0.01 P_no_diabetes = 0.99 # Conditional probabilities P_positive_given_diabetes = 0.9 P_positive_given_no_diabetes = 0.1 # Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes) # Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test # Print the results print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
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- É necessário dividir nosso espaço de eventos elementares em
ndiferentes eventos incompatíveis; - Sabemos que o evento A resulta do experimento estocástico. Isso significa que A já ocorreu;
- Queremos entender em qual segmento H realizamos o experimento, calculando a respectiva probabilidade condicional.
Exemplo
Suponha que um teste médico para diabetes tenha precisão de 90% na detecção de uma doença específica.
A doença é rara e ocorre em apenas 1% da população. Se uma pessoa testa positivo para a doença, qual é a probabilidade de que ela realmente tenha a doença?
Solução
Para resolver este problema, é necessário considerar que o teste pode apresentar falso positivo e falso negativo. Por isso, precisamos utilizar o teorema de Bayes.
H₁: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter diabetes é 0.01.
H₂: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente não ter diabetes é 0.99.
A: o resultado do teste é positivo (diabetes detectada pelo teste).
P(A|H₁): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro positivo).
P(not A|H₂): a probabilidade de o teste não detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro negativo).
P(A|H₂): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (resultado falso positivo).
Precisamos encontrar P(H₁|A) - a probabilidade de uma pessoa realmente estar doente se o teste detectar diabetes
12345678910111213141516# Prior probabilities P_diabetes = 0.01 P_no_diabetes = 0.99 # Conditional probabilities P_positive_given_diabetes = 0.9 P_positive_given_no_diabetes = 0.1 # Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes) # Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test # Print the results print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
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