Conteúdo do Curso

Fundamentos da Teoria das Probabilidades

1. Conceitos Básicos da Teoria das Probabilidades

Experimento Estocástico e Evento Aleatório Probabilidade e Suas Propriedades Probabilidade Geométrica Desafio: Resolução da Tarefa Utilizando Probabilidade Geométrica Independência e Incompatibilidade de Eventos Aleatórios Probabilidade Condicional

2. Probabilidade de Eventos Complexos

Princípio da Inclusão-Exclusão Desafio: Resolução da Tarefa Utilizando o Princípio da Inclusão-Exclusão A Regra da Multiplicação da Probabilidade Lei da Probabilidade Total Teorema de Bayes Desafio: Resolvendo a Tarefa Usando o Teorema de Bayes

3. Distribuições Discretas Comumente Utilizadas

Distribuição Binomial Desafio: Resolução de Tarefa Utilizando Distribuição Binomial Distribuição Multinomial Distribuição Geométrica Distribuição de Poisson Desafio: Resolução de Tarefa Utilizando Distribuição de Poisson

4. Distribuições Contínuas Comumente Utilizadas

Distribuição Uniforme Contínua Distribuição Exponencial Desafio: Resolução de Tarefa Utilizando Distribuição Exponencial Distribuição Gaussiana Desafio: Resolvendo Tarefa Usando Distribuição Gaussiana

5. Covariância e Correlação

O Que É Covariância?O Que É Correlação?Desafio: Resolvendo a Tarefa Usando Correlação

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é um conceito fundamental na teoria das probabilidades que permite atualizar nossas crenças ou probabilidades com base em novas evidências. Já consideramos a lei da probabilidade total, o teorema de Bayes é muito semelhante a essa lei. Vamos analisar a formulação:

Vamos fornecer explicações:

É necessário dividir nosso espaço de eventos elementares em n diferentes eventos incompatíveis;
Sabemos que o evento A resulta do experimento estocástico. Isso significa que A já ocorreu;
Queremos entender em qual segmento H realizamos o experimento, calculando a respectiva probabilidade condicional.

Exemplo

Suponha que um teste médico para diabetes tenha precisão de 90% na detecção de uma doença específica.
A doença é rara e ocorre em apenas 1% da população. Se uma pessoa testa positivo para a doença, qual é a probabilidade de que ela realmente tenha a doença?

Solução

Para resolver este problema, é necessário considerar que o teste pode apresentar falso positivo e falso negativo. Por isso, precisamos utilizar o teorema de Bayes.

H₁: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter diabetes é 0.01.
H₂: A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente não ter diabetes é 0.99.
A: o resultado do teste é positivo (diabetes detectada pelo teste).
P(A|H₁): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro positivo).
P(not A|H₂): a probabilidade de o teste não detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 0.9 (resultado verdadeiro negativo).
P(A|H₂): a probabilidade de o teste detectar diabetes e a pessoa não estar doente é 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (resultado falso positivo).

Precisamos encontrar P(H₁|A) - a probabilidade de uma pessoa realmente estar doente se o teste detectar diabetes


              12345678910111213141516
            
# Prior probabilities
P_diabetes = 0.01
P_no_diabetes = 0.99

# Conditional probabilities
P_positive_given_diabetes = 0.9
P_positive_given_no_diabetes = 0.1

# Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive
P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes)

# Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem
P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test

# Print the results
print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 2. Capítulo 5

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