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Fundamentos da Teoria das Probabilidades
Fundamentos da Teoria das Probabilidades
Probabilidade Geométrica
No capítulo anterior, analisamos a regra clássica para contagem de probabilidades. De acordo com essa regra, a probabilidade é calculada como a razão entre o número de resultados de interesse e o número de todos os resultados possíveis. Mas o que fazer se o número de resultados não puder ser contado?
Por exemplo, suponha que você esteja atirando aleatoriamente em um alvo e queira determinar a probabilidade de acertar a área central desse alvo.
Nesse caso, não é possível simplesmente contar todos os resultados possíveis, pois o número de pontos que podem ser atingidos é infinito. Como resultado, será necessário utilizar a probabilidade geométrica.
O princípio do cálculo das probabilidades geométricas é semelhante à regra clássica — ainda assumimos que todos os resultados elementares possíveis do experimento são igualmente prováveis, mas, em vez de contar o número de resultados, consideramos sua medida geométrica.
A medida geométrica é determinada com base na dimensão do espaço dos eventos elementares:
se o espaço é unidimensional (reta), então a comprimento da reta é utilizado como medida;
se bidimensional (plano), então a área da figura no plano é utilizada como medida;
se tridimensional (uma figura no espaço), então utilizamos o volume como medida.
Assim, para resolver o problema com um alvo, podemos usar a razão entre as áreas da região de interesse e de todo o alvo. Suponha que todo o alvo seja um círculo com raio 2 e a região de interesse seja um círculo central com raio 1. Então, a probabilidade de acertar a região central pode ser encontrada da seguinte forma:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the radii of the circles r_large = 2 # Radius of the larger circle r_small = 1 # Radius of the smaller circle # Calculate the areas area_large = np.pi * r_large**2 # Area of the larger circle area_small = np.pi * r_small**2 # Area of the smaller circle # Calculate the probability probability = area_small / area_large # Probability of shooting into the smaller circle # Plot the circles fig, ax = plt.subplots() # Create a new figure and axis object circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3) # Create a circle representing the larger circle circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5) # Create a circle representing the smaller circle ax.add_artist(circle_large) # Add the larger circle to the plot ax.add_artist(circle_small) # Add the smaller circle to the plot ax.set_aspect('equal') # Set the aspect ratio of the plot to be equal ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1) # Set the x-axis limits ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1) # Set the y-axis limits ax.set_xlabel('X') # Set the x-axis label ax.set_ylabel('Y') # Set the y-axis label ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle') # Set the title of the plot plt.legend(['Target', 'Area to shoot']) # Add a legend to the plot plt.grid(True) # Add a grid to the plot plt.show() # Display the plot print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}') # Print the probability
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