Álgebra linear desempenha um papel fundamental no processamento de imagens. Como as imagens digitais são representadas como matrizes de valores de pixels, operações matemáticas como transformações, escalonamento e rotações podem ser realizadas por meio de manipulações matriciais. Vamos detalhar os conceitos essenciais de álgebra linear utilizados em visão computacional.

Representação de Imagens como Matrizes

Uma imagem digital é essencialmente uma grade de pixels, e cada pixel possui um valor de intensidade. Em imagens em tons de cinza, trata-se de uma matriz 2D, onde cada elemento corresponde a um nível de brilho (0 para preto, 255 para branco). Por exemplo, uma imagem simples em tons de cinza 6×6 pode ser representada assim:

Imagens coloridas, por outro lado, são matrizes 3D (também chamadas de tensores), com camadas separadas para Vermelho, Verde e Azul (RGB).

Imagens em tons de cinza possuem formato (60, 60), o que significa que consistem em 60 linhas e 60 colunas, com cada pixel representando um único valor de intensidade - há apenas um canal de cor. Em contraste, imagens RGB possuem formato (60, 60, 3), indicando a mesma resolução espacial (60 linhas e 60 colunas), mas com uma dimensão adicional para cor: cada pixel contém três valores correspondentes aos canais vermelho, verde e azul, que juntos definem a cor completa naquele ponto.

Transformações de Álgebra Linear para Processamento de Imagens

Diversas manipulações de imagens dependem de operações matriciais, tornando a álgebra linear uma parte fundamental da visão computacional. A seguir, estão as transformações mais utilizadas.

Redimensionamento de Imagem (Scaling)

O redimensionamento aumenta ou diminui o tamanho de uma imagem. Isso é realizado multiplicando a matriz da imagem por uma matriz de escala:

onde $s_x$ e $s_y$ são os fatores de escala para a largura e altura, respectivamente. Exemplo: Para dobrar o tamanho de uma imagem, utiliza-se:

Multiplicação desta matriz pelas coordenadas de cada pixel resulta no aumento da escala da imagem.

Rotação de Imagem

Para rotacionar uma imagem por um ângulo $\theta$, utiliza-se uma matriz de rotação:

Por exemplo, rotacionar uma imagem 90 graus no sentido horário significa utilizar:

Aplicar essa transformação move cada pixel para uma nova posição, rotacionando efetivamente a imagem.

Cisalhamento (Inclinação de uma Imagem)

O cisalhamento distorce uma imagem ao deslocar suas linhas ou colunas. A matriz de transformação de cisalhamento é:

onde $\omega_x$ e $\omega_y$ definem o quanto a imagem é distorcida horizontal e verticalmente. Deslocamento de uma imagem em 30% horizontalmente e 20% verticalmente:

Por que a Álgebra Linear é Importante na Visão Computacional

A álgebra linear é a base de muitas tarefas de processamento de imagens, incluindo:

• Detecção de objetos (caixas delimitadoras dependem de transformações);
• Reconhecimento facial (autovetores e PCA para extração de características);
• Aprimoramento de imagens (filtragem utiliza convoluções de matrizes);
• Redes neurais (pesos são armazenados como matrizes).

Ao compreender essas operações fundamentais, é possível manipular imagens de forma eficiente e desenvolver aplicações de visão computacional mais avançadas.