Aprenda Função de Perda | Rede Neural do Zero

Durante o treinamento de uma rede neural, é necessário medir o desempenho do modelo. Isso é feito utilizando uma função de perda, que quantifica a diferença entre as saídas previstas e os valores reais dos alvos. O objetivo do treinamento é minimizar essa perda, tornando as previsões o mais próximas possível dos valores reais.

Uma das funções de perda mais utilizadas para classificação binária é a perda de entropia cruzada, que funciona bem com modelos que produzem probabilidades como saída.

Derivação da Perda de Entropia Cruzada

Para compreender a perda de entropia cruzada, começamos com o princípio da máxima verossimilhança. Em um problema de classificação binária, o objetivo é treinar um modelo que estime a probabilidade $\hat{y}$ de uma determinada entrada pertencer à classe 1. O rótulo real $y$ pode ser 0 ou 1.

Um bom modelo deve maximizar a probabilidade de prever corretamente todos os exemplos de treinamento. Isso significa que queremos maximizar a função de verossimilhança, que representa a probabilidade de observar os dados fornecidos as previsões do modelo.

Para um único exemplo de treinamento, assumindo independência, a verossimilhança pode ser escrita como:

P(y|x) = \hat{y}^y(1 - \hat{y})^{1-y}

Essa expressão significa simplesmente:

Se $y = 1$ , então $P(y|x) = \hat{y}$ , ou seja, queremos maximizar $\hat{y}$ (a probabilidade atribuída à classe 1);
Se $y = 0$ , então $P(y|x) = 1 - \hat{y}$ , ou seja, queremos maximizar $1 - \hat{y}$ (a probabilidade atribuída à classe 0).

Nota

$P(y|x)$ significa a probabilidade de observar o rótulo de classe real $y$ dado as entradas $x$ .

Para facilitar a otimização, utiliza-se a log-verossimilhança em vez da própria verossimilhança (pois logaritmos transformam produtos em somas, tornando a diferenciação mais simples):

\log P(y|x) = y\log(\hat{y}) + (1-y)\log(1-\hat{y})

Como o objetivo é a maximização, define-se a função de perda como a log-verossimilhança negativa, que desejamos minimizar:

L = -(y\log(\hat{y}) + (1-y)\log(1-\hat{y}))

Esta é a função de perda de entropia cruzada binária, comumente utilizada para problemas de classificação.

Considerando que a variável output representa $\hat{y}$ para um determinado exemplo de treinamento, e a variável target representa $y$ para este exemplo, esta função de perda pode ser implementada da seguinte forma:

import numpy as np

loss = -(target * np.log(output) + (1 - target) * np.log(1 - output))

Por que esta fórmula?

A perda de entropia cruzada possui uma interpretação intuitiva clara:

Se $y = 1$ , a perda se simplifica para $-\log(\hat{y})$ , ou seja, a perda é baixa quando $\hat{y}$ está próxima de 1 e muito alta quando $\hat{y}$ está próxima de 0;
Se $y = 0$ , a perda se simplifica para $-\log(1 - \hat{y})$ , ou seja, a perda é baixa quando $\hat{y}$ está próxima de 0 e muito alta quando está próxima de 1.

Como os logaritmos crescem negativamente à medida que sua entrada se aproxima de zero, previsões incorretas são fortemente penalizadas, incentivando o modelo a fazer previsões corretas e confiantes.

Se múltiplos exemplos são passados durante a propagação para frente, a perda total é calculada como a média da perda entre todos os exemplos:

L = -\frac1N \sum_{i=1}^N (y_i\log(\hat{y}_i) + (1-y_i)\log(1-\hat{y}_i))

onde $N$ é o número de amostras de treinamento.

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Seção 2. Capítulo 6

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