Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lära Varians, Kovarians och Kovariansmatrisen | Matematiska Grunder för PCA
Dimensionsreduktion med PCA

bookVarians, Kovarians och Kovariansmatrisen

Note
Definition

Varians mäter hur mycket en variabel avviker från sitt medelvärde.

Formeln för varians av en variabel xx är:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definition

Kovarians mäter hur två variabler förändras tillsammans.

Formeln för kovarians mellan variablerna xx och yy är:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatrisen generaliserar kovarians till flera variabler. För en datamängd XX med dd egenskaper och nn observationer är kovariansmatrisen Σ\Sigma en d×dd \times d-matris där varje element Σij\Sigma_{ij} är kovariansen mellan egenskap ii och egenskap jj, beräknad med nämnaren n−1n-1 för att vara en obeskattad skattning.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden ovan centrerar du manuellt datan och beräknar kovariansmatrisen med matris­multiplikation. Denna matris visar hur varje par av egenskaper samvarierar.

question mark

Vilket påstående beskriver korrekt sambandet mellan varians, kovarians och kovariansmatrisen

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 1

Fråga AI

expand

Fråga AI

ChatGPT

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 8.33

bookVarians, Kovarians och Kovariansmatrisen

Svep för att visa menyn

Note
Definition

Varians mäter hur mycket en variabel avviker från sitt medelvärde.

Formeln för varians av en variabel xx är:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definition

Kovarians mäter hur två variabler förändras tillsammans.

Formeln för kovarians mellan variablerna xx och yy är:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatrisen generaliserar kovarians till flera variabler. För en datamängd XX med dd egenskaper och nn observationer är kovariansmatrisen Σ\Sigma en d×dd \times d-matris där varje element Σij\Sigma_{ij} är kovariansen mellan egenskap ii och egenskap jj, beräknad med nämnaren n−1n-1 för att vara en obeskattad skattning.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden ovan centrerar du manuellt datan och beräknar kovariansmatrisen med matris­multiplikation. Denna matris visar hur varje par av egenskaper samvarierar.

question mark

Vilket påstående beskriver korrekt sambandet mellan varians, kovarians och kovariansmatrisen

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 1
some-alt