Lära Grundläggande Linjär Algebra

Avsnitt 4. Kapitel 3

single

Svep för att visa menyn

Linjär algebra är en grundläggande gren av matematiken som spelar en avgörande roll inom olika områden, inklusive maskininlärning, djupinlärning och dataanalys.

Vektorer och matriser

Inom linjär algebra är en vektor en ordnad uppsättning värden. 1D NumPy-arrayer kan effektivt representera vektorer. En matris är en tvådimensionell uppsättning tal, vilket kan representeras av en 2D-array i NumPy.

Du har redan gått igenom addition och subtraktion av vektorer och matriser samt skalär multiplikation i kapitlet "Grundläggande matematiska operationer". Här fokuserar du på andra operationer.

Transponering

Transponering är en operation som vänder en matris över dess diagonal. Det innebär att raderna i matrisen blir kolumner och kolumnerna blir rader.

Du kan transponera en matris med attributet .T för en NumPy-array:


              12345
            
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# Transposing a matrix
transposed_matrix = matrix.T
print(transposed_matrix)

Skalärprodukt

Skalärprodukten är kanske den mest använda linjära algebraoperationen inom maskininlärning och djupinlärning. Skalärprodukten av två vektorer (som måste ha lika många element) är summan av deras elementvisa produkter. Resultatet är en skalär:

Matrismultiplikation

Matrismultiplikation är endast definierad om antalet kolumner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra matrisen. Den resulterande matrisen kommer att ha samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolumner som den andra matrisen.

Som du kan se är varje element i den resulterande matrisen skalärprodukten av två vektorer. Radnumret för elementet motsvarar numret på radvektorn i den första matrisen, och kolumnnumret motsvarar numret på kolumnvektorn i den andra matrisen.

Antalet kolumner i den första matrisen måste vara lika med antalet rader i den andra matrisen, eftersom skalärprodukten kräver att de två vektorerna har samma antal element.

Skalärprodukt och matrismultiplikation i NumPy

NumPy tillhandahåller funktionen dot() för både skalärprodukt och matrismultiplikation. Denna funktion tar två arrayer som argument.

Du kan dock även använda operatorn @ mellan två arrayer för att uppnå samma resultat.


              12345678910111213
            
import numpy as np
vector_1 = np.array([1, 2, 3])
vector_2 = np.array([4, 5, 6])
# Dot product using the dot() function
print(np.dot(vector_1, vector_2))
# Dot product using the @ operator
print(vector_1 @ vector_2)
matrix_1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
matrix_2 = np.array([[7, 10], [8, 11], [9, 12]])
# Matrix multiplication using the dot() function
print(np.dot(matrix_1, matrix_2))
# Matrix multiplication using the @ operator
print(matrix_1 @ matrix_2)

Om det högra argumentet vid matrismultiplikation är en vektor (1D-array), behandlar NumPy den som en matris där sista dimensionen är 1. Vid multiplikation av en 6x4-matris med en vektor med 4 element betraktas vektorn som en 4x1-matris.

Om det vänstra argumentet vid matrismultiplikation är en vektor, behandlar NumPy den som en matris där första dimensionen är 1. Vid multiplikation av en vektor med 4 element med en 4x6-matris behandlas vektorn som en 1x4-matris.

Bilden nedan visar strukturen för arrayerna exam_scores och coefficients som används i uppgiften:

Uppgift

Svep för att börja koda

Varje elevs slutbetyg beräknas genom att multiplicera deras ämnespoäng med respektive koefficienter och summera resultaten. Prudukten av två vektorer (dot product) utför båda dessa operationer samtidigt.

Beräkna prudukten av exam_scores och coefficients för att få slutbetygen för alla tre elever.