Du är kvalitetskontrollchef på en stångtillverkningsfabrik. Du behöver simulera mätningar och antal defekter med hjälp av tre olika sannolikhetsfördelningar för att modellera din produktionsprocess:
- Normalfördelning för stångvikter (kontinuerlig);
- Binomialfördelning för antalet defekta stänger i partier (diskret);
- Likformig fördelning för toleranser i stånglängd (kontinuerlig).

Din uppgift är att **översätta formler och koncept från din föreläsning till Python-kod**. Du **får INTE** använda inbyggda numpy-funktioner för slumpmässig sampling (t.ex. `np.random.normal`) eller någon annan biblioteks direkta samplingsmetoder för fördelningarna. Implementera istället provgenerering manuellt med hjälp av de underliggande principerna och grundläggande Python (t.ex. `random.random()`, `random.gauss()`).


Notering

### Formler att använda

### Normalfördelning PDF:

$$
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
 
### Standardavvikelse från varians:

$$
\sigma = \sqrt{\text{variance}}
$$

### Binomialfördelning PMF:

$$
P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}n^k(1-n)^{n-k},\quad \text{where}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
 
### Likformig fördelning PDF:

$$
f(x) = \frac{1}{b-a}\quad \text{för}\quad a \le x \le b
$$

import unittest
import math
import random
import numpy as np
import user_code  # student's submission

def _dynamic(tc, ok, ok_msg, fail_msg):
    tc._testMethodName = ok_msg if ok else fail_msg
    (tc.assertTrue if ok else tc.fail)(tc._testMethodName)

ATOL = 1e-7
RTOL = 1e-6

class TestQCDistributionsV2(unittest.TestCase):

    def test_params_and_sigma(self):
        reasons = []
        mu = getattr(user_code, "mu", None)
        variance = getattr(user_code, "variance", None)
        sigma = getattr(user_code, "sigma", None)
        n = getattr(user_code, "n", None)
        p = getattr(user_code, "p", None)
        a = getattr(user_code, "a", None)
        b = getattr(user_code, "b", None)

        # Check exact parameters matching instructions
        if mu != 200: reasons.append("mu must be 200")
        if variance != 25: reasons.append("variance must be 25")
        if n != 20: reasons.append("n must be 20")
        if not (isinstance(p, (int, float)) and math.isclose(p, 0.05, rel_tol=1e-9)): 
            reasons.append("p must be 0.05")
        if not (isinstance(a, (int, float)) and math.isclose(a, 49.5, rel_tol=1e-9)): 
            reasons.append("a must be 49.5")
        if not (isinstance(b, (int, float)) and math.isclose(b, 50.5, rel_tol=1e-9)): 
            reasons.append("b must be 50.5")

        if not isinstance(sigma, (int, float)):
            reasons.append("sigma must be numeric")
        elif variance == 25:
            exp_sigma = math.sqrt(variance)
            if not math.isclose(sigma, exp_sigma, rel_tol=1e-9, abs_tol=1e-12):
                reasons.append(f"sigma must equal sqrt(variance): expected {exp_sigma}, got {sigma}")

        _dynamic(
            self,
            len(reasons) == 0,
            "PASS: parameters valid & sigma computed from variance",
            "FAIL: " + " | ".join(reasons) if reasons else "FAIL"
        )

    def test_functions_exist_and_return_sizes(self):
        reasons = []
        for name in ("sample_normal", "sample_binomial", "sample_uniform"):
            fn = getattr(user_code, name, None)
            if not callable(fn):
                reasons.append(f"{name} must be a function")

        if len(reasons) == 0:
            # Smoke-run with small sizes to confirm signatures
            try:
                random.seed(1)
                normals = user_code.sample_normal(user_code.mu, user_code.sigma, size=17)
                bins = user_code.sample_binomial(user_code.n, user_code.p, size=19)
                unis = user_code.sample_uniform(user_code.a, user_code.b, size=23)
                if not (len(normals) == 17 and len(bins) == 19 and len(unis) == 23):
                    reasons.append("sampling functions must respect the 'size' argument")
            except Exception as e:
                reasons.append(f"sampling call error: {e}")

        _dynamic(
            self,
            len(reasons) == 0,
            "PASS: sampling functions exist and respect sizes",
            "FAIL: " + " | ".join(reasons) if reasons else "FAIL"
        )

    def test_normal_sampling_stats(self):
        mu, sigma = 200, 5.0
        random.seed(12345)
        samples = user_code.sample_normal(mu, sigma, size=15000)
        arr = np.asarray(samples, dtype=float)

        reasons = []
        if arr.ndim != 1 or arr.size != 15000 or not np.isfinite(arr).all():
            reasons.append("sample_normal must return a 1D finite sequence of requested size")

        mean_tol = 0.12 * max(1.0, abs(sigma))
        std_tol  = 0.12 * max(1.0, abs(sigma))

        m = float(np.mean(arr))
        s = float(np.std(arr, ddof=0))
        if abs(m - mu) > mean_tol:
            reasons.append(f"Normal mean off: expected ~{mu}, got {m}")
        if abs(s - sigma) > std_tol:
            reasons.append(f"Normal std off: expected ~{sigma}, got {s}")

        _dynamic(
            self,
            len(reasons) == 0,
            "PASS: normal sampling ~correct mean/std",
            "FAIL: " + " | ".join(reasons) if reasons else "FAIL"
        )

    def test_binomial_sampling_stats(self):
        n, p = 20, 0.05
        random.seed(24680)
        samples = user_code.sample_binomial(n, p, size=20000)
        arr = np.asarray(samples, dtype=float)

        reasons = []
        if arr.ndim != 1 or arr.size != 20000:
            reasons.append("sample_binomial must return a 1D sequence of requested size")
        if np.min(arr) < 0 or np.max(arr) > n:
            reasons.append("binomial samples must lie in [0, n]")

        expected_mean = n * p
        expected_var = n * p * (1 - p)
        sample_mean = float(np.mean(arr))
        
        se = math.sqrt(expected_var / arr.size) if expected_var > 0 else 0.0
        margin = 6 * se if se > 0 else 0.15
        if abs(sample_mean - expected_mean) > margin + 0.05:
            reasons.append(f"Binomial mean off: expected ~{expected_mean}, got {sample_mean}")

        _dynamic(
            self,
            len(reasons) == 0,
            "PASS: binomial sampling ~correct mean & bounds",
            "FAIL: " + " | ".join(reasons) if reasons else "FAIL"
        )

    def test_uniform_sampling_stats(self):
        a, b = 49.5, 50.5
        random.seed(13579)
        samples = user_code.sample_uniform(a, b, size=20000)
        arr = np.asarray(samples, dtype=float)

        reasons = []
        if arr.ndim != 1 or arr.size != 20000:
            reasons.append("sample_uniform must return a 1D sequence of requested size")
        if np.min(arr) < a - 1e-9 or np.max(arr) > b + 1e-9:
            reasons.append("uniform samples must lie in [a, b]")

        expected_mean = (a + b) / 2.0
        expected_var = ((b - a) ** 2) / 12.0
        sample_mean = float(np.mean(arr))
        sample_var = float(np.var(arr, ddof=0))

        mean_tol = max(0.01, 0.05 * (b - a))
        var_tol  = max(0.01, 0.12 * expected_var)

        if abs(sample_mean - expected_mean) > mean_tol:
            reasons.append(f"Uniform mean off: expected ~{expected_mean}, got {sample_mean}")
        if abs(sample_var - expected_var) > var_tol:
            reasons.append(f"Uniform variance off: expected ~{expected_var}, got {sample_var}")

        _dynamic(
            self,
            len(reasons) == 0,
            "PASS: uniform sampling ~correct mean/var & range",
            "FAIL: " + " | ".join(reasons) if reasons else "FAIL"
        )

test_code.py

Behärska de matematiska grunderna som är avgörande för data science. Utforska centrala begrepp inom funktioner, analys, linjär algebra, sannolikhet och dimensionsreduktion. Bygg både teoretisk förståelse och praktisk kodningsvana för att stärka din förmåga att analysera data, modellera komplexa system och tillämpa avancerade tekniker inom maskininlärning.

Utforska grunderna för matematiska funktioner. Lär dig olika typer av algebraiska och transcendenta funktioner, deras egenskaper och hur de implementeras i Python för att lösa verkliga problem.

Behärska begreppen mängder och serier, från grundläggande operationer till praktiska tillämpningar. Få praktisk erfarenhet av att implementera mängdoperationer och arbeta med aritmetiska och geometriska serier i Python.

Utveckla en gedigen förståelse för gränsvärden, derivator, integraler och partiella derivator. Knyt samman teori och praktik genom att implementera dessa begrepp i Python och tillämpa dem på optimering med hjälp av gradientnedstigning.

Bygg gedigna kunskaper om vektorer, matriser och transformationer. Lär dig dekompositionsmetoder och egenvärdesanalys, samtidigt som begreppen förstärks med Python-programmeringsutmaningar och praktiska tillämpningar inom data science.

Fördjupa dig i sannolikhetsteori och statistik. Studera betingad sannolikhet, Bayes sats och statistiska mått. Implementera centrala koncept i Python, simulera fördelningar och stärk dina färdigheter genom utmaningar och frågesporter.

Utmaning: Kvalitetskontrollprovtagning

Formler att använda

Normalfördelning PDF:

Standardavvikelse från varians:

Binomialfördelning PMF:

Likformig fördelning PDF:

Lösning