Svep för att visa menyn

Villkorlig sannolikhet

Villkorlig sannolikhet mäter sannolikheten för att en händelse inträffar givet att en annan händelse redan har inträffat.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Tolkning: om det regnar är det 50% chans att du kommer för sent till jobbet.

Bayes sats

Bayes sats hjälper oss att hitta $P(A|B)$ när det är svårt att mäta direkt, genom att relatera det till $P(B|A)$ som ofta är lättare att uppskatta.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Där:

$P(A \mid B)$ – sannolikheten för A givet B (vårt mål);
$P(B \mid A)$ – sannolikheten för B givet A;
$P(A)$ – prior sannolikhet för A;
$P(B)$ – total sannolikhet för B.

Utveckling av $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Tolkning: Även om du testar positivt är det bara cirka 16,7 % chans att du faktiskt har sjukdomen.

Viktiga slutsatser

Villkorlig sannolikhet beräknar sannolikheten för att A inträffar när vi vet att B har inträffat;
Bayes sats vänder på villkorliga sannolikheter för att uppdatera antaganden när direkt mätning är svår;
Båda är avgörande inom data science, medicinska tester och maskininlärning.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 4

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Implementering av Villkorlig Sannolikhet och Bayes Sats i Python

Villkorlig sannolikhet

Villkorlig sannolikhet mäter sannolikheten för att en händelse inträffar givet att en annan händelse redan har inträffat.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Tolkning: om det regnar är det 50% chans att du kommer för sent till jobbet.

Bayes sats

Bayes sats hjälper oss att hitta $P(A|B)$ när det är svårt att mäta direkt, genom att relatera det till $P(B|A)$ som ofta är lättare att uppskatta.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Där:

$P(A \mid B)$ – sannolikheten för A givet B (vårt mål);
$P(B \mid A)$ – sannolikheten för B givet A;
$P(A)$ – prior sannolikhet för A;
$P(B)$ – total sannolikhet för B.

Utveckling av $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Tolkning: Även om du testar positivt är det bara cirka 16,7 % chans att du faktiskt har sjukdomen.

Viktiga slutsatser

Villkorlig sannolikhet beräknar sannolikheten för att A inträffar när vi vet att B har inträffat;
Bayes sats vänder på villkorliga sannolikheter för att uppdatera antaganden när direkt mätning är svår;
Båda är avgörande inom data science, medicinska tester och maskininlärning.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 4