Lära Förståelse av Sannolikhetsfördelningar

Sannolikhetsfördelningar

En sannolikhetsfördelning anger hur sannolika olika utfall är. För diskreta utfall (som "antal defekta stänger") listar vi sannolikheter för varje möjligt antal. För kontinuerliga mätningar (som längd eller vikt) beskriver vi tätheten över ett intervall. Allmänna formler för diskreta respektive kontinuerliga fall:

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{diskret}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (kontinuerlig)

Exempel (snabb kontroll): Om en process garanterar att alla längder mellan 49,5 och 50,5 cm är lika sannolika, är sannolikheten att en stång hamnar i ett 0,4 cm delintervall lika med delintervallens bredd dividerat med 1,0 cm (detta är den likformiga idén — nedan visas detta i detalj).

Binomialfördelning

Binomialfördelningen modellerar antalet framgångar (t.ex. defekta stänger) i ett fast antal oberoende försök (t.ex. 100 stänger), där varje försök har samma sannolikhet för framgång.

Formel:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Exempel:

I en sats med $n=100$ stänger där varje stång oberoende har sannolikheten $p=0.02$ att vara defekt, vad är sannolikheten för exakt $k=3$ defekta stänger?

Steg 1 — beräkna kombinationen:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Steg 2 — beräkna potenser:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Steg 3 — multiplicera alla delar:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Vad detta betyder: Ungefär 18,23% chans för exakt 3 defekta stänger i ett urval om 100 stänger. Om du ser 3 defekter är det ett rimligt utfall.

Notera

Om din beräknade sannolikhet verkar större än 1 eller negativ, kontrollera kombinationen eller potensberäkningarna igen. Jämför även ett binomial pmf-värde med cdf om du vill ha svar för "högst" eller "minst".

Likformig fördelning

Den likformiga fördelningen modellerar en kontinuerlig mätning där varje värde inom intervallet [a,b] är lika sannolikt (t.ex. ett toleransintervall för stånglängd).

Formel:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Sannolikhet mellan två punkter:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Exempel:

Parametrar: a=49.5, b=50.5. Vad är sannolikheten att en stånglängd X ligger mellan 49.8 och 50.2? Beräkna intervallbredd:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Beräkna delintervall:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Sannolikhet:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Tolkning: Det finns 40% sannolikhet att en slumpmässigt uppmätt stång hamnar inom detta snävare toleransintervall.

Notera

Säkerställ att $a<b$ och att ditt delintervall ligger inom $[a,b]$ ; annars måste du klippa ändpunkterna och behandla värden utanför intervallet med sannolikhet 0.

Normalfördelning

Normalfördelningen beskriver kontinuerliga mätningar som samlas kring ett medelvärde $μ$ med spridning mätt som standardavvikelse $σ$ . Många mätfel och naturliga variationer följer denna klockformade kurva.

Formel:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Standardisera med z-poäng:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Sannolikheten mellan två värden beräknas med den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) eller symmetri för standardfall:

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Här är $\Phi$ den standardiserade normalfördelningens CDF.

Exempel A:

Parametrar: $μ=200$ , $σ=5$ , beräkna $P(195≤X≤205)$ .

Z-poäng:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

Med hjälp av normalfördelningens symmetri är sannolikheten mellan $−1$ och $+1$ standardavvikelse den välkända:

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Tolkning: Cirka 68,27% av stångvikterna ligger inom ±1 standardavvikelse från medelvärdet — den klassiska "68%-regeln".

Notering

När gränserna är symmetriska kring använd kända empiriska regler ( $68–95–99.7$ ). För andra gränser, beräkna och använd sedan en tabell eller kalkylator.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 10

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn

Sannolikhetsfördelningar

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{diskret}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (kontinuerlig)

Binomialfördelning

Binomialfördelningen modellerar antalet framgångar (t.ex. defekta stänger) i ett fast antal oberoende försök (t.ex. 100 stänger), där varje försök har samma sannolikhet för framgång.

Formel:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Exempel:

I en sats med $n=100$ stänger där varje stång oberoende har sannolikheten $p=0.02$ att vara defekt, vad är sannolikheten för exakt $k=3$ defekta stänger?

Steg 1 — beräkna kombinationen:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Steg 2 — beräkna potenser:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Steg 3 — multiplicera alla delar:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Vad detta betyder: Ungefär 18,23% chans för exakt 3 defekta stänger i ett urval om 100 stänger. Om du ser 3 defekter är det ett rimligt utfall.

Notera

Likformig fördelning

Den likformiga fördelningen modellerar en kontinuerlig mätning där varje värde inom intervallet [a,b] är lika sannolikt (t.ex. ett toleransintervall för stånglängd).

Formel:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Sannolikhet mellan två punkter:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Exempel:

Parametrar: a=49.5, b=50.5. Vad är sannolikheten att en stånglängd X ligger mellan 49.8 och 50.2? Beräkna intervallbredd:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Beräkna delintervall:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Sannolikhet:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Tolkning: Det finns 40% sannolikhet att en slumpmässigt uppmätt stång hamnar inom detta snävare toleransintervall.

Notera

Säkerställ att $a<b$ och att ditt delintervall ligger inom $[a,b]$ ; annars måste du klippa ändpunkterna och behandla värden utanför intervallet med sannolikhet 0.

Normalfördelning

Formel:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Standardisera med z-poäng:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Sannolikheten mellan två värden beräknas med den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) eller symmetri för standardfall:

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Här är $\Phi$ den standardiserade normalfördelningens CDF.

Exempel A:

Parametrar: $μ=200$ , $σ=5$ , beräkna $P(195≤X≤205)$ .

Z-poäng:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

Med hjälp av normalfördelningens symmetri är sannolikheten mellan $−1$ och $+1$ standardavvikelse den välkända:

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Tolkning: Cirka 68,27% av stångvikterna ligger inom ±1 standardavvikelse från medelvärdet — den klassiska "68%-regeln".

Notering

När gränserna är symmetriska kring använd kända empiriska regler ( $68–95–99.7$ ). För andra gränser, beräkna och använd sedan en tabell eller kalkylator.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 10