Lära Förståelse av Sannolikhetens Grunder

Definition

Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att en händelse inträffar. Det kvantifierar osäkerhet och är avgörande inom områden som datavetenskap, statistik och maskininlärning, där det hjälper oss att analysera mönster, göra förutsägelser och bedöma risker.

Grundläggande definition av sannolikhet

Sannolikheten för att en händelse $A$ inträffar ges av:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denna formel visar hur många sätt vår önskade händelse kan inträffa jämfört med alla möjliga utfall. Sannolikhet varierar alltid från 0 (omöjligt) till 1 (säkert).

Förstå utfallsrum och händelser

Utfallsrum – alla möjliga utfall av ett experiment;
Händelse – ett specifikt utfall eller en uppsättning utfall som vi är intresserade av.

Exempel med att singla slant:

Utfallsrum = {Heads, Tails} ;
Händelse A = {Heads} .

Då gäller:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Unionsregeln: "A ELLER B inträffar"

Definition: Unionen av två händelser $A \cup B$ representerar utfall där antingen $A$ inträffar, eller $B$ inträffar, eller båda inträffar.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi subtraherar snittet för att undvika dubbelräkning av utfall som förekommer i båda händelserna.

Exempel på union: Kasta en tärning

Vi kastar en sexsidig tärning:

Händelse A = {1, 2, 3} (kasta ett lågt tal)
Händelse B = {2, 4, 6} (kasta ett jämnt tal)

Union och snitt:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beräkningar steg för steg:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Tillämpa unionsformeln:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snittregeln: "A OCH B inträffar båda"

Definition: Snittet av två händelser $A \cap B$ representerar utfall där både $A$ och $B$ inträffar samtidigt.

Allmän formel

I alla fall:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Där $P(B|A)$ är den betingade sannolikheten för $B$ givet att $A$ redan har inträffat.

Fall 1: Oberoende händelser

Om händelserna inte påverkar varandra (t.ex. att singla slant och kasta en tärning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Exempel:

$P(\text{Krona på ett mynt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en tärning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Då gäller:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Fall 2: Beroende händelser

Om resultatet av den första händelsen påverkar den andra (t.ex. att dra kort utan återläggning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Exempel:

$P(\text{första kortet är ett ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andra kortet är ett ess | första kortet var ett ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Då gäller:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 1

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn

Definition

Grundläggande definition av sannolikhet

Sannolikheten för att en händelse $A$ inträffar ges av:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denna formel visar hur många sätt vår önskade händelse kan inträffa jämfört med alla möjliga utfall. Sannolikhet varierar alltid från 0 (omöjligt) till 1 (säkert).

Förstå utfallsrum och händelser

Utfallsrum – alla möjliga utfall av ett experiment;
Händelse – ett specifikt utfall eller en uppsättning utfall som vi är intresserade av.

Exempel med att singla slant:

Utfallsrum = {Heads, Tails} ;
Händelse A = {Heads} .

Då gäller:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Unionsregeln: "A ELLER B inträffar"

Definition: Unionen av två händelser $A \cup B$ representerar utfall där antingen $A$ inträffar, eller $B$ inträffar, eller båda inträffar.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi subtraherar snittet för att undvika dubbelräkning av utfall som förekommer i båda händelserna.

Exempel på union: Kasta en tärning

Vi kastar en sexsidig tärning:

Händelse A = {1, 2, 3} (kasta ett lågt tal)
Händelse B = {2, 4, 6} (kasta ett jämnt tal)

Union och snitt:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beräkningar steg för steg:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Tillämpa unionsformeln:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snittregeln: "A OCH B inträffar båda"

Definition: Snittet av två händelser $A \cap B$ representerar utfall där både $A$ och $B$ inträffar samtidigt.

Allmän formel

I alla fall:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Där $P(B|A)$ är den betingade sannolikheten för $B$ givet att $A$ redan har inträffat.

Fall 1: Oberoende händelser

Om händelserna inte påverkar varandra (t.ex. att singla slant och kasta en tärning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Exempel:

$P(\text{Krona på ett mynt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en tärning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Då gäller:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Fall 2: Beroende händelser

Om resultatet av den första händelsen påverkar den andra (t.ex. att dra kort utan återläggning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Exempel:

$P(\text{första kortet är ett ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andra kortet är ett ess | första kortet var ett ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Då gäller:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 1