Lära Förståelse av Villkorlig Sannolikhet och Bayes Sats

Villkorlig sannolikhet

Villkorlig sannolikhet mäter sannolikheten för att en händelse inträffar givet att en annan händelse redan har inträffat.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Där:

$P(A \mid B)$ betyder "sannolikheten för A givet B";
$P(A \cap B)$ är sannolikheten att både A och B inträffar;
$P(B)$ är sannolikheten att B inträffar (måste vara > 0).

Exempel 1: Villkorlig sannolikhet — Väder och trafik

Antag:

Händelse A: "Jag är sen till jobbet";
Händelse B: "Det regnar".

Givet:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% chans att det regnar OCH jag är sen);
$P(B) = 0.20$ (20% chans att det regnar en viss dag).

Då gäller:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Tolkning:
Om det regnar är det 50% sannolikhet att jag blir sen till jobbet.

Bayes sats

Bayes sats hjälper oss att hitta $P(A \mid B)$ när det är svårt att mäta direkt, genom att relatera det till $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Steg-för-steg-uppdelning

Steg 1: Förstå $P(A \mid B)$
Detta utläses som "sannolikheten för A givet B".

Exempel: Om A = "att ha en sjukdom" och B = "testar positivt", då frågar $P(A \mid B)$ :
Givet ett positivt test, vad är sannolikheten att personen faktiskt har sjukdomen?

Steg 2: Täljare = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sannolikheten att testa positivt om du har sjukdomen (testets känslighet);
$P(A)$ = tidigare sannolikhet för A (sjukdomsprevalens).

Steg 3: Nämnare = $P(B)$
Detta är den totala sannolikheten att B inträffar (testar positivt), från både sanna positiva och falska positiva.

Utvecklat:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Där:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-frekvens;
$P(\neg A)$ = sannolikheten att inte ha sjukdomen.

Bayes sats — Medicinskt test

Antag:

Händelse A: "Att ha en sjukdom";
Händelse B: "Testar positivt".

Givet:

Sjukdomsprevalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falskt positivt resultat: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Steg 1: Beräkna total sannolikhet för positivt test

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Steg 2: Använd Bayes sats

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Tolkning:
Även om du testar positivt är det bara cirka 16,7% sannolikhet att du faktiskt har sjukdomen — eftersom sjukdomen är ovanlig och det förekommer falskt positiva resultat.

Viktiga punkter

Villkorlig sannolikhet bestämmer sannolikheten för att A inträffar givet att B redan har inträffat;
Bayes sats vänder på villkorliga sannolikheter och möjliggör uppdatering av antaganden när direkt mätning är svår;
Båda begreppen är grundläggande inom data science, maskininlärning, medicinska tester och beslutsfattande.

Notering

Tänk på Bayes sats som: "Sannolikheten för A givet B är lika med sannolikheten för att B inträffar om A är sant, multiplicerat med hur sannolikt A är, dividerat med hur sannolikt B är totalt."

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 3

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn

Villkorlig sannolikhet

Villkorlig sannolikhet mäter sannolikheten för att en händelse inträffar givet att en annan händelse redan har inträffat.

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Där:

$P(A \mid B)$ betyder "sannolikheten för A givet B";
$P(A \cap B)$ är sannolikheten att både A och B inträffar;
$P(B)$ är sannolikheten att B inträffar (måste vara > 0).

Exempel 1: Villkorlig sannolikhet — Väder och trafik

Antag:

Händelse A: "Jag är sen till jobbet";
Händelse B: "Det regnar".

Givet:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% chans att det regnar OCH jag är sen);
$P(B) = 0.20$ (20% chans att det regnar en viss dag).

Då gäller:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Tolkning:
Om det regnar är det 50% sannolikhet att jag blir sen till jobbet.

Bayes sats

Bayes sats hjälper oss att hitta $P(A \mid B)$ när det är svårt att mäta direkt, genom att relatera det till $P(B \mid A)$ .

Formel:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Steg-för-steg-uppdelning

Steg 1: Förstå $P(A \mid B)$
Detta utläses som "sannolikheten för A givet B".

Exempel: Om A = "att ha en sjukdom" och B = "testar positivt", då frågar $P(A \mid B)$ :
Givet ett positivt test, vad är sannolikheten att personen faktiskt har sjukdomen?

Steg 2: Täljare = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = sannolikheten att testa positivt om du har sjukdomen (testets känslighet);
$P(A)$ = tidigare sannolikhet för A (sjukdomsprevalens).

Steg 3: Nämnare = $P(B)$
Detta är den totala sannolikheten att B inträffar (testar positivt), från både sanna positiva och falska positiva.

Utvecklat:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Där:

$P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-frekvens;
$P(\neg A)$ = sannolikheten att inte ha sjukdomen.

Bayes sats — Medicinskt test

Antag:

Händelse A: "Att ha en sjukdom";
Händelse B: "Testar positivt".

Givet:

Sjukdomsprevalens: $P(A) = 0.01$ ;
Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Falskt positivt resultat: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Steg 1: Beräkna total sannolikhet för positivt test

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Steg 2: Använd Bayes sats

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Tolkning:
Även om du testar positivt är det bara cirka 16,7% sannolikhet att du faktiskt har sjukdomen — eftersom sjukdomen är ovanlig och det förekommer falskt positiva resultat.

Viktiga punkter

Villkorlig sannolikhet bestämmer sannolikheten för att A inträffar givet att B redan har inträffat;
Bayes sats vänder på villkorliga sannolikheter och möjliggör uppdatering av antaganden när direkt mätning är svår;
Båda begreppen är grundläggande inom data science, maskininlärning, medicinska tester och beslutsfattande.

Notering

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 5. Kapitel 3