Typer och egenskaper

1. Identitetsfunktion

Form: $f(x) = x$

Egenskaper:

• Går genom origo $(0, 0)$;
• En rät linje med lutning $m = 1$;
• Varje indata motsvarar sig själv;
• Inget maximum eller minimum;
• Definitionsmängd: $(-\infty, \infty)$;
• Värdemängd: $(-\infty, \infty)$.

Användningsområde: representerar oförändrade data eller som referens vid transformationer.

2. Konstant funktion

Form: $f(x) = c$

Egenskaper:

• En horisontell linje vid $y = c$;
• Utdata förblir konstant för alla indata;
• Lutning: $m = 0$;
• Inget maximum eller minimum;
• Definitionsmängd: $(-\infty, \infty)$;
• Värdemängd: ${c}$.

Användningsområde: representation av fasta kvantiteter såsom basvärden eller fasta avgifter.

3. Linjär funktion

Form: $f(x) = mx + b$

Egenskaper:

• En rät linje med lutning $m$;
• Växande om $m > 0$, avtagande om $m < 0$;
• X-intercept: $x = -\frac{b}{m}$;
• Y-intercept: $y = b$;
• Inget maximum eller minimum;
• Definitionsmängd: $(-\infty, \infty)$;
• Värdemängd: $(-\infty, \infty)$.

Användningsområde: förutsägelse av kontinuerliga utfall såsom intäkter eller kostnader.

4. Polynomfunktion (exempel: kvadratisk)

Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Egenskaper:

• Parabelkurva (U-formad om $a > 0$; inverterad U om $a < 0$);
• Vertex vid $x = -\frac{b}{2a}$;
• X-intercept (nollställen): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Y-intercept: $f(0) = c$;
• Definitionsmängd: $(-\infty, \infty)$;
• Värdemängd:
• Om $a > 0$, då $[y_{vertex}; \infty)$;
  • Om $a < 0$, då $(-\infty; y_{vertex}]$.

Användningsområde: kurvanpassning, regressionsmodeller och beskrivning av icke-linjära trender.

5. Rationell funktion

Form: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Exempel: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Beteende:

• Vertikal asymptot vid $x = 1$;
• Horisontell asymptot vid $y = 0$;
• Odefinierad vid $x = 1$;
• Kraftig ökning och minskning nära asymptoten;
• Definitionsmängd: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Värdemängd: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Användningsområde: modellering av begränsade system såsom förändringshastigheter eller resursanvändning.