Typer och egenskaper

1. Exponentialfunktion

Form:

• $a$: amplitud, skalar kurvan vertikalt;
• $b$: tillväxt- eller avtagandehastighet, anger hur snabbt funktionen ökar eller minskar;
• $c$: horisontell förskjutning, flyttar kurvan åt vänster eller höger;
• $d$: vertikal förskjutning, flyttar grafen uppåt eller nedåt.

Egenskaper:

• Ökar snabbt när $b > 0$;
• Minskar mot noll när $b < 0$;
• Alltid positiv för alla $x$;
• Går genom punkten $(c, a + d)$;
• Definitionsmängd: $(-\infty, \infty)$;
• Värdemängd: $(d, \infty)$ om $a > 0$, eller $(-\infty, d)$ om $a < 0$.

Användningsområde: modellering av populationsökning, radioaktivt sönderfall och sammansatt ränta.

2. Logaritmfunktion

Form:

• $a$: amplitud, sträcker eller komprimerar kurvan vertikalt;
• $b$: bas, avgör tillväxt- eller avtagandehastighet;
• $c$: horisontell förskjutning, flyttar grafen åt vänster eller höger;
• $d$: vertikal förskjutning, flyttar grafen uppåt eller nedåt.

Egenskaper:

• Definierad endast för $x > c$;
• Ökar långsamt när $x$ växer;
• Närmar sig minus oändligheten nära $x = c$;
• Går genom punkten $(c + 1, d)$;
• Definitionsmängd: $(c, \infty)$;
• Värdemängd: $(-\infty, \infty)$.

Användningsområde: mätning av data med multiplikativ förändring, såsom pH, ljudintensitet eller jordbävningsstyrka.

3. Trigonometrisk funktion

Form:

där $\text{trig}$ kan vara $\sin$, $\cos$ eller $\tan$.

• $a$: amplitud, styr vågens höjd;
• $b$: antal cykler, anger hur många svängningar som sker under en period;
• $c$: horisontell förskjutning, flyttar vågen åt vänster eller höger;
• $d$: vertikal förskjutning, flyttar grafen uppåt eller nedåt.

Egenskaper:

• Sinus och cosinus: svänger periodiskt mellan $-a + d$ och $a + d$;
• Tangens: upprepas varje $\pi$ och har vertikala asymptoter vid $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Alla är periodiska och kontinuerliga inom sina definitionsmängder;
• Definitionsmängd och värdemängd:
  • $\sin(x), \cos(x)$: definitionsmängd $(-\infty, \infty)$, värdemängd $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: definitionsmängd $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, värdemängd $(-\infty, \infty)$.

Användningsområde: modellering av cykler och svängningar inom signalbehandling, fysik och teknik.