Lära Introduktion till Matristransformationer

Svep för att visa menyn

Matrixekvationer

En matrixekvation kan skrivas som:

A \vec{x} = \vec{b}

Där:

$A$ är koefficientmatrisen;
$\vec{x}$ är variabelvektorn;
$\vec{b}$ är konstantvektorn.

Matrisrepresentation av linjära system

Betrakta det linjära systemet:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Detta kan skrivas om som:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Genomgång av matrismultiplikation

Multiplikationen av en matris med en vektor representerar en linjärkombination:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Exempelsystem i matrisform

Systemet:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan uttryckas som:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriser som transformationer

En matris transformerar vektorer i rummet.

Exempel:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denna matris definierar hur axlarna transformeras vid multiplikation.

Skalning med matriser

För att applicera skalning på en vektor används:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Där:

$s_x$ – skalningsfaktor i x-riktningen;
$s_y$ – skalningsfaktor i y-riktningen.

Exempel: skalning av punkt (2, 3) med 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation med matriser

För att rotera en vektor med vinkeln $\theta$ kring origo:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exempel: rotera (2, 3) med 90°:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spegling över x-axeln

Speglingens matris:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Med $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Skjuvningstransformation (skjuvning i x-riktning)

Skjuvning förskjuter en axel baserat på den andra.

För att skjuva i x-riktning:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Om $k = 1.5$ och $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformation

Identitetsmatrisen utför ingen transformation:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

För varje vektor $\vec{v}$ :

I \vec{v} = \vec{v}

Vad är matrisformen för detta ekvationssystem?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 5

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal