Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lära Introduktion till Matristransformationer | Grunder i Linjär Algebra
Matematik för datavetenskap

bookIntroduktion till Matristransformationer

Matrixekvationer

En matrixekvation kan skrivas som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Där:

  • AA är koefficientmatrisen;
  • x⃗\vec{x} är variabelvektorn;
  • b⃗\vec{b} är konstantvektorn.

Matrisrepresentation av linjära system

Betrakta det linjära systemet:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Detta kan skrivas om som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Genomgång av matris­multiplikation

Multiplikationen av en matris med en vektor representerar en linjärkombination:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Exempelsystem i matrisform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan uttryckas som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriser som transformationer

En matris transformerar vektorer i rummet.

Exempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denna matris definierar hur axlarna transformeras vid multiplikation.

Skalning med matriser

För att applicera skalning på en vektor används:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Där:

  • sxs_x – skalningsfaktor i x-riktningen;
  • sys_y – skalningsfaktor i y-riktningen.

Exempel: skalning av punkt (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation med matriser

För att rotera en vektor med vinkeln θ\theta kring origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exempel: rotera (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spegling över x-axeln

Speglingens matris:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Med v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Skjuvningstransformation (skjuvning i x-riktning)

Skjuvning förskjuter en axel baserat på den andra.

För att skjuva i x-riktning:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Om k=1.5k = 1.5 och v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformation

Identitetsmatrisen utför ingen transformation:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

För varje vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Vad är matrisformen för detta ekvationssystem?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 5

Fråga AI

expand

Fråga AI

ChatGPT

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktion till Matristransformationer

Svep för att visa menyn

Matrixekvationer

En matrixekvation kan skrivas som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Där:

  • AA är koefficientmatrisen;
  • x⃗\vec{x} är variabelvektorn;
  • b⃗\vec{b} är konstantvektorn.

Matrisrepresentation av linjära system

Betrakta det linjära systemet:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Detta kan skrivas om som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Genomgång av matris­multiplikation

Multiplikationen av en matris med en vektor representerar en linjärkombination:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Exempelsystem i matrisform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan uttryckas som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriser som transformationer

En matris transformerar vektorer i rummet.

Exempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denna matris definierar hur axlarna transformeras vid multiplikation.

Skalning med matriser

För att applicera skalning på en vektor används:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Där:

  • sxs_x – skalningsfaktor i x-riktningen;
  • sys_y – skalningsfaktor i y-riktningen.

Exempel: skalning av punkt (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation med matriser

För att rotera en vektor med vinkeln θ\theta kring origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exempel: rotera (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Då gäller:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spegling över x-axeln

Speglingens matris:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Med v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Skjuvningstransformation (skjuvning i x-riktning)

Skjuvning förskjuter en axel baserat på den andra.

För att skjuva i x-riktning:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Om k=1.5k = 1.5 och v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformation

Identitetsmatrisen utför ingen transformation:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

För varje vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Vad är matrisformen för detta ekvationssystem?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 5
some-alt