Vad är egenvektorer och egenvärden?

En egenvektor är en icke-noll vektor som endast ändrar storlek när en matris appliceras på den. Det motsvarande skalära värdet som beskriver denna förändring är egenvärdet.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Där:

• $A$ är en kvadratisk matris;
• $\lambda$ är egenvärdet;
• $\vec{v}$ är egenvektorn.

Exempelmatris och uppställning

Antag:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Vi vill hitta värden på $\lambda$ och vektorer $\vec{v}$ sådana att:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Karakteristisk ekvation

För att hitta $\lambda$, lös den karakteristiska ekvationen:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Sätt in:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Beräkna determinanten:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Lös:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Hitta egenvektorer

Lös nu för varje $\lambda$.

För $\lambda = 5$:

Subtrahera:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Lös:

$$v_1 = v_2$$

Alltså:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

För $\lambda = 2$:

Subtrahera:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Lös:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Alltså:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Bekräfta egenparet

När du har ett egenvärde $\lambda$ och en egenvektor $\vec{v}$, verifiera att:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Exempel:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Exempel:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

är också en egenvektor för $\lambda = 5$.

Diagonalisering (Avancerat)

Om en matris $A$ har $n$ linjärt oberoende egenvektorer kan den diagonaliseras:

$$A = PDP^{-1}$$

Där:

• $P$ är matrisen med egenvektorer som kolumner;
• $D$ är en diagonalmatris med egenvärden;
• $P^{-1}$ är inversen av $P$.

Du kan bekräfta diagonalisering genom att kontrollera $A = PDP^{-1}$.
Detta är användbart för att beräkna potenser av $A$:

Exempel

Låt:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Hitta egenvärden:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Lös:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Hitta egenvektorer:

För $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

För $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Konstruera $P, D$ och $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Beräkna:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Bekräftat.

Varför detta är viktigt:

För att beräkna potenser av $A$, såsom $A^k$. Eftersom $D$ är diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Detta gör beräkning av matrispotenser mycket snabbare.

Viktiga anmärkningar

• Egenvärden och egenvektorer är riktningar som förblir oförändrade under transformation;
• $\lambda$ sträcker $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ lämnar $\vec{v}$ oförändrad i storlek.