Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lära Introduktioner till Vektorer | Grunder i Linjär Algebra
Matematik för datavetenskap

bookIntroduktioner till Vektorer

Note
Definition

En vektor är ett matematiskt objekt som representerar både riktning och storlek i rummet. Inom datavetenskap används vektorer för att beskriva datapunkter, egenskaper och modellparametrar såsom vikter.

Vad är en vektor?

En vektor är ett ordnat par av tal med både storlek och riktning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer ritas ofta som pilar från origo till en punkt i rummet. Två vektorer anses vara lika om de har samma riktning och längd, även om de börjar på olika platser.

Nollvektorn

Nollvektorn har ingen längd och ingen riktning. Den skrivs som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition och -subtraktion

Addition

För att addera två vektorer, addera deras motsvarande komponenter:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Detta kan visualiseras med:

  • Huvud-till-svans-metoden: flytta svansen av en vektor till huvudet av den andra;
  • Parallellogrammetoden: båda vektorerna utgår från samma punkt och bildar ett parallellogram.

Subtraktion

För att subtrahera en vektor från en annan:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Detta ger en ny vektor som pekar från huvudet av den andra till huvudet av den första.

Skalär multiplikation

Att multiplicera en vektor med ett tal (en skalär) sträcker ut eller vänder vektorn:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Om k>1k > 1, sträcks vektorn i samma riktning;
  • Om 0<k<10 < k < 1, krymps vektorn;
  • Om k<0k < 0, vänds riktningen;
  • Om k=0k = 0, blir det nollvektorn.

Vektorns Magnitud (Längd)

Magnituden eller längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Detta ger det räta avståndet från origo till vektorns spets.

Skalärprodukt (Prickprodukt)

Skalärprodukten kombinerar två vektorer till ett enda tal som visar hur väl de är riktade mot varandra:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Om resultatet är positivt: vektorerna pekar åt liknande håll;
  • Om resultatet är noll: vektorerna är vinkelräta;
  • Om resultatet är negativt: de pekar åt motsatta håll.

Exempel

Om a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), då:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Om a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Då är deras skalärprodukt:

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 1

Fråga AI

expand

Fråga AI

ChatGPT

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktioner till Vektorer

Svep för att visa menyn

Note
Definition

En vektor är ett matematiskt objekt som representerar både riktning och storlek i rummet. Inom datavetenskap används vektorer för att beskriva datapunkter, egenskaper och modellparametrar såsom vikter.

Vad är en vektor?

En vektor är ett ordnat par av tal med både storlek och riktning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer ritas ofta som pilar från origo till en punkt i rummet. Två vektorer anses vara lika om de har samma riktning och längd, även om de börjar på olika platser.

Nollvektorn

Nollvektorn har ingen längd och ingen riktning. Den skrivs som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddition och -subtraktion

Addition

För att addera två vektorer, addera deras motsvarande komponenter:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Detta kan visualiseras med:

  • Huvud-till-svans-metoden: flytta svansen av en vektor till huvudet av den andra;
  • Parallellogrammetoden: båda vektorerna utgår från samma punkt och bildar ett parallellogram.

Subtraktion

För att subtrahera en vektor från en annan:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Detta ger en ny vektor som pekar från huvudet av den andra till huvudet av den första.

Skalär multiplikation

Att multiplicera en vektor med ett tal (en skalär) sträcker ut eller vänder vektorn:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Om k>1k > 1, sträcks vektorn i samma riktning;
  • Om 0<k<10 < k < 1, krymps vektorn;
  • Om k<0k < 0, vänds riktningen;
  • Om k=0k = 0, blir det nollvektorn.

Vektorns Magnitud (Längd)

Magnituden eller längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Detta ger det räta avståndet från origo till vektorns spets.

Skalärprodukt (Prickprodukt)

Skalärprodukten kombinerar två vektorer till ett enda tal som visar hur väl de är riktade mot varandra:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Om resultatet är positivt: vektorerna pekar åt liknande håll;
  • Om resultatet är noll: vektorerna är vinkelräta;
  • Om resultatet är negativt: de pekar åt motsatta håll.

Exempel

Om a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), då:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Om a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Då är deras skalärprodukt:

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 1
some-alt