Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lära Matrisoperationer | Grunder i Linjär Algebra
Matematik för datavetenskap

bookMatrisoperationer

Note
Definition

En matris är en rektangulär uppställning av tal ordnade i rader och kolumner, som används för att effektivt representera och lösa matematiska problem.

Innan vi går vidare till linjära system, såsom Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, är det viktigt att förstå hur matriser fungerar och vilka operationer som kan utföras på dem.

Matrisaddition

Två matriser kan adderas endast om de har samma form (samma antal rader och kolumner).

Låt:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Då gäller:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalär multiplikation

En matris kan även multipliceras med en skalär (enskilt tal):

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matris­multiplikation och storleks­kompatibilitet

Matris­multiplikation är en rad-för-kolumn-operation, inte elementvis.

Regel: Om matrisen AA har formen (m×n)(m \times n) och matrisen BB har formen (n×p)(n \times p), då gäller:

  • Multiplikationen ABAB är giltig;
  • Resultatet blir en matris med formen (m×p)(m \times p).

Exempel:

Låt:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA är (2×2)(2 \times 2) och BB är (2×1)(2 \times 1), då är ABAB giltig och ger en (2×1)(2 \times 1) matris:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponat av en matris

Transponatet av en matris byter plats på rader och kolumner. Det betecknas som ATA^T.

Låt:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Då gäller:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaper:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinanten av en matris

2×2-matris

För:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten är:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3-matris

För:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten är:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denna metod kallas utveckling enligt kofaktorer.

  • Större matriser (4×4 och uppåt) kan utvecklas rekursivt.
  • Determinanten är användbar eftersom den visar om en matris har en invers (icke-noll determinant).

Inversen av en matris

Inversen av en kvadratisk matris AA betecknas som A−1A^{-1}. Den uppfyller A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, där II är identitetsmatrisen.

Endast kvadratiska matriser med icke-noll determinant har en invers.

Exempel:

Om matrisen A är:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Då är dess inversa matris A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Där det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Vad är transponatet av matrisen [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 3

Fråga AI

expand

Fråga AI

ChatGPT

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookMatrisoperationer

Svep för att visa menyn

Note
Definition

En matris är en rektangulär uppställning av tal ordnade i rader och kolumner, som används för att effektivt representera och lösa matematiska problem.

Innan vi går vidare till linjära system, såsom Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, är det viktigt att förstå hur matriser fungerar och vilka operationer som kan utföras på dem.

Matrisaddition

Två matriser kan adderas endast om de har samma form (samma antal rader och kolumner).

Låt:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Då gäller:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalär multiplikation

En matris kan även multipliceras med en skalär (enskilt tal):

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matris­multiplikation och storleks­kompatibilitet

Matris­multiplikation är en rad-för-kolumn-operation, inte elementvis.

Regel: Om matrisen AA har formen (m×n)(m \times n) och matrisen BB har formen (n×p)(n \times p), då gäller:

  • Multiplikationen ABAB är giltig;
  • Resultatet blir en matris med formen (m×p)(m \times p).

Exempel:

Låt:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA är (2×2)(2 \times 2) och BB är (2×1)(2 \times 1), då är ABAB giltig och ger en (2×1)(2 \times 1) matris:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponat av en matris

Transponatet av en matris byter plats på rader och kolumner. Det betecknas som ATA^T.

Låt:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Då gäller:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaper:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinanten av en matris

2×2-matris

För:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten är:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3-matris

För:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten är:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denna metod kallas utveckling enligt kofaktorer.

  • Större matriser (4×4 och uppåt) kan utvecklas rekursivt.
  • Determinanten är användbar eftersom den visar om en matris har en invers (icke-noll determinant).

Inversen av en matris

Inversen av en kvadratisk matris AA betecknas som A−1A^{-1}. Den uppfyller A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, där II är identitetsmatrisen.

Endast kvadratiska matriser med icke-noll determinant har en invers.

Exempel:

Om matrisen A är:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Då är dess inversa matris A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Där det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Vad är transponatet av matrisen [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 3
some-alt