Lära Implementering av Matristransformation i Python

Lösning av ett linjärt ekvationssystem

Vi definierar ett ekvationssystem:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Detta skrivs om som:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Detta hittar värdena på $x$ och $y$ som uppfyller båda ekvationerna.

Varför detta är viktigt: att lösa ekvationssystem är grundläggande inom datavetenskap – från anpassning av linjära modeller till lösning av optimeringsvillkor.

Tillämpning av linjära transformationer

Vi definierar en vektor:

v = np.array([[2], [3]])

Sedan tillämpar vi två transformationer:

Skalning

Vi sträcker $x$ med 2 och komprimerar $y$ med 0,5:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Detta utför:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Rotation

Vi roterar vektorn $90°$ moturs med hjälp av rotationsmatrisen:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Detta ger:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Visualisering av transformationerna

Med hjälp av matplotlib ritas varje vektor från origo, med koordinaterna angivna:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Varför detta är viktigt: arbetsflöden inom datavetenskap inkluderar ofta transformationer, till exempel:

Principal Component Analysis – roterar data;
Funktionsnormalisering – skalar axlar;
Dimensionsreduktion – projektioner.

Genom att visualisera vektorer och deras transformationer ser vi hur matriser bokstavligen flyttar och omformar data i rummet.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 4. Kapitel 6

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn