Summary  
This chapter demonstrates how to decompose a matrix into lower and upper triangular factors (LU) and into orthogonal and upper triangular factors (QR) using Python libraries, then verifies each decomposition by reconstructing the original matrix.

General domain of usage  
Numerical linear algebra

Matrixuppdelningstekniker är grundläggande verktyg inom numerisk linjär algebra och möjliggör lösningar för ekvationssystem, stabilitetsanalys och invertering av matriser.

## Utförande av LU-uppdelning

**LU-uppdelning** delar upp en matris i:

* `L`: nedre triangulär matris;
* `U`: övre triangulär matris;
* `P`: permutationsmatris för att hantera radbyten.

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[6, 3],
              [4, 3]])

# Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U
P, L, U = lu(A)

# Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U
print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')

**Varför detta är viktigt**: LU-dekomposition används ofta inom numeriska metoder för att lösa linjära system och invertera matriser effektivt.

## Utförande av QR-dekomposition

QR-dekomposition faktorisera en matris i:

* `Q`: Ortogonal matris (bevarar vinklar/längder);
* `R`: Övre triangulär matris.

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[4, 3],
              [6, 3]])

# Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular)
Q, R = qr(A)

# Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R
print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')

**Varför detta är viktigt**: QR används ofta för att lösa minsta kvadrat-problem och är mer numerärt stabil än LU i vissa situationer.

Vilken roll har permutationsmatrisen `P` i **LU-dekomposition**?

Antag att du behöver lösa systemet $$A·x = b$$ med hjälp av **QR-dekomposition**. Vilken kodändring behöver du göra?

Behärska de matematiska grunderna som är avgörande för data science. Utforska centrala begrepp inom funktioner, analys, linjär algebra, sannolikhet och dimensionsreduktion. Bygg både teoretisk förståelse och praktisk kodningsvana för att stärka din förmåga att analysera data, modellera komplexa system och tillämpa avancerade tekniker inom maskininlärning.

Utforska grunderna för matematiska funktioner. Lär dig olika typer av algebraiska och transcendenta funktioner, deras egenskaper och hur de implementeras i Python för att lösa verkliga problem.

Behärska begreppen mängder och serier, från grundläggande operationer till praktiska tillämpningar. Få praktisk erfarenhet av att implementera mängdoperationer och arbeta med aritmetiska och geometriska serier i Python.

Utveckla en gedigen förståelse för gränsvärden, derivator, integraler och partiella derivator. Knyt samman teori och praktik genom att implementera dessa begrepp i Python och tillämpa dem på optimering med hjälp av gradientnedstigning.

Bygg gedigna kunskaper om vektorer, matriser och transformationer. Lär dig dekompositionsmetoder och egenvärdesanalys, samtidigt som begreppen förstärks med Python-programmeringsutmaningar och praktiska tillämpningar inom data science.

Fördjupa dig i sannolikhetsteori och statistik. Studera betingad sannolikhet, Bayes sats och statistiska mått. Implementera centrala koncept i Python, simulera fördelningar och stärk dina färdigheter genom utmaningar och frågesporter.

Implementering av Matrisuppdelning i Python

Utförande av LU-uppdelning

Utförande av QR-dekomposition

1. Vilken roll har permutationsmatrisen `P` i LU-dekomposition?

2. Antag att du behöver lösa systemet $A·x = b$ med hjälp av QR-dekomposition. Vilken kodändring behöver du göra?

Implementering av Matrisuppdelning i Python

Utförande av LU-uppdelning

Utförande av QR-dekomposition

1. Vilken roll har permutationsmatrisen P i LU-dekomposition?

2. Antag att du behöver lösa systemet A⋅x=bA·x = bA⋅x=b med hjälp av QR-dekomposition. Vilken kodändring behöver du göra?

1. Vilken roll har permutationsmatrisen `P` i LU-dekomposition?

2. Antag att du behöver lösa systemet $A·x = b$ med hjälp av QR-dekomposition. Vilken kodändring behöver du göra?