Summary  
This chapter demonstrates how to define a matrix in Python, compute its eigenvalues and eigenvectors using numpy’s eig function, and validate each eigenpair by checking that A @ v equals λ * v.  

General domain of usage  
Scientific computing

## Beräkning av egenvärden och egenvektorer

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Print eigenvalues and eigenvectors
print(f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}')
print(f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}')

`eig()` från biblioteket `numpy` beräknar lösningarna till ekvationen:

$$
A v = \lambda v
$$

* `eigenvalues`: en lista av skalärer $$\lambda$$ som skalar egenvektorer;
* `eigenvectors`: kolumner som representerar $$v$$ (riktningar som inte förändras vid transformation).

import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Verify that A @ v = λ * v for each eigenpair
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Pair {i + 1}:')
    λ = eigenvalues[i]
    v = eigenvectors[:, i].reshape(-1, 1)
    print(f'A * v:\n{A @ v}')
    print(f'lambda * v:\n{λ * v}')

Detta kontrollerar om:

$$
A v = \lambda v
$$

De två sidorna bör stämma överens noggrant, vilket bekräftar korrektheten. Detta är hur vi numeriskt validerar teoretiska egenskaper.

Behärska de matematiska grunderna som är avgörande för data science. Utforska centrala begrepp inom funktioner, analys, linjär algebra, sannolikhet och dimensionsreduktion. Bygg både teoretisk förståelse och praktisk programmeringsvana för att stärka din förmåga att analysera data, modellera komplexa system och tillämpa avancerade tekniker inom maskininlärning.

Utforska grunderna för matematiska funktioner. Lär dig olika typer av algebraiska och transcendenta funktioner, deras egenskaper och hur de implementeras i Python för att lösa verkliga problem.

Behärska begreppen mängder och serier, från grundläggande operationer till praktiska tillämpningar. Få praktisk erfarenhet av att implementera mängdoperationer och arbeta med aritmetiska och geometriska serier i Python.

Utveckla en gedigen förståelse för gränsvärden, derivator, integraler och partiella derivator. Knyt samman teori och praktik genom att implementera dessa begrepp i Python och tillämpa dem på optimering med hjälp av gradientnedstigning.

Bygg gedigna kunskaper om vektorer, matriser och transformationer. Lär dig dekompositionsmetoder och egenvärdesanalys, samtidigt som begreppen förstärks med Python-programmeringsutmaningar och praktiska tillämpningar inom data science.

Fördjupa dig i sannolikhetsteori och statistik. Studera betingad sannolikhet, Bayes sats och statistiska mått. Implementera centrala koncept i Python, simulera fördelningar och stärk dina färdigheter genom utmaningar och frågesporter.

Implementering av Egenvektorer och Egenvärden i Python

Beräkning av egenvärden och egenvektorer

Validering av varje par (Nyckelsteg)

Awesome!

Implementering av Egenvektorer och Egenvärden i Python

Beräkning av egenvärden och egenvektorer

Validering av varje par (Nyckelsteg)