I Python kan vi beräkna derivator symboliskt med hjälp av sympy och visualisera dem med matplotlib.

1. Symbolisk beräkning av derivator

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Förklaring:

• Vi definierar x som en symbolisk variabel med sp.symbols('x');
• Funktionen sp.diff(f, x) beräknar derivatan av f med avseende på x;
• Detta gör det möjligt att manipulera derivator algebraisk i Python.

2. Utvärdering och plottning av funktioner och deras derivator

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Förklaring:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') konverterar en symbolisk funktion till en numerisk funktion som kan utvärderas med numpy;
• Detta krävs eftersom matplotlib och numpy arbetar med numeriska arrayer, inte symboliska uttryck.

3. Utskrift av derivatvärden för nyckelpunkter

För att verifiera våra beräkningar skriver vi ut derivatvärden vid x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)