Lära Introduktion till Integraler

Definition

Integration är ett grundläggande begrepp inom analys som representerar den totala ackumuleringen av en storhet, såsom arean under en kurva. Det är avgörande inom datavetenskap för att beräkna sannolikhetsfördelningar, kumulativa värden och optimering.

Grundläggande integral

Den grundläggande integralen av en potensfunktion följer denna regel:

\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Där:

$C$ är en konstant;
$n \neq -1$ ;
$...+C$ representerar en godtycklig integrationskonstant.

Huvudidé: om derivering minskar exponenten på $x$ , ökar integration den.

Vanliga integreringsregler

Potensregeln för integration

Denna regel används för att integrera polynomuttryck:

\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Till exempel, om $n = 2$ :

\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Exponentialregeln

Integralen av den exponentiella funktionen $e^x$ är unik eftersom den förblir oförändrad efter integration:

\int e^x dx = e^x + C

Men om exponenten har en koefficient används en annan regel:

\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Till exempel, om $a = 2$ :

\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriska integraler

Sinus- och cosinusfunktionerna följer också enkla integreringsregler:

\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Bestämda integraler

Till skillnad från obestämda integraler, som inkluderar en godtycklig konstant $C$ , beräknar bestämda integraler en funktion mellan två gränser $a$ och $b$ :

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Där $F(x)$ är antiderivatan till $f(x)$ .

Till exempel, om $f(x) = 2x$ , $a = 0$ och $b = 2$ :

\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Detta innebär att arean under kurvan $y = 2x$ från $x=0$ till $x=2$ är $4$ .

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 3. Kapitel 5

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Suggested prompts:

Can you explain the difference between definite and indefinite integrals?

Can you show more examples of integrating trigonometric or exponential functions?

How do I know when to use the power rule versus other integration rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn