Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lära Introduktion till Gränsvärden | Matematisk Analys
Matematik för datavetenskap

bookIntroduktion till Gränsvärden

Note
Definition

En gräns är ett grundläggande begrepp inom analys som beskriver det värde en funktion närmar sig när dess indata närmar sig en specifik punkt. Gränser utgör grunden för definitionen av derivator och integraler, vilket gör dem oumbärliga inom matematisk analys och optimering inom maskininlärning.

Formell definition & notation

En gräns representerar det värde som en funktion närmar sig när indata kommer godtyckligt nära en punkt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Detta innebär att när xx kommer godtyckligt nära aa närmar sig f(x)f(x) värdet LL.

Note
Notering

Funktionen behöver inte vara definierad vid x=ax=a för att gränsen ska existera.

Ensidiga och tvåsidiga gränsvärden

Ett gränsvärde kan närmas från båda sidor:

  • Vänstersidigt gränsvärde: närmar sig aa från värden mindre än aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Högersidigt gränsvärde: närmar sig aa från värden större än aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Gränsvärdet existerar endast om båda ensidiga gränsvärden är lika:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

När gränsvärden inte existerar

Ett gränsvärde existerar inte i följande fall:

  • Språngdiskontinuitet:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Exempel: en stegfunktion där vänster och höger gränsvärde är olika.
  • Oändligt gränsvärde:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Funktionen växer obegränsat.
  • Oscillation:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Funktionen fluktuerar oändligt utan att närma sig ett enda värde.

Särskilt fall – gränsvärden vid oändligheten

När xx närmar sig oändligheten analyseras funktionernas ändbeteende:

  • Rationella funktioner:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynomväxt:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regel för dominerande term:
lim⁡x→∞axmbxn={0, om m<n,ab, om m=n,±∞, om m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{om } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{om } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{om } m > n. \end{cases}
question mark

Vilket påstående beskriver korrekt när en gräns existerar?

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 3. Kapitel 1

Fråga AI

expand

Fråga AI

ChatGPT

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Suggested prompts:

Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?

What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduktion till Gränsvärden

Svep för att visa menyn

Note
Definition

En gräns är ett grundläggande begrepp inom analys som beskriver det värde en funktion närmar sig när dess indata närmar sig en specifik punkt. Gränser utgör grunden för definitionen av derivator och integraler, vilket gör dem oumbärliga inom matematisk analys och optimering inom maskininlärning.

Formell definition & notation

En gräns representerar det värde som en funktion närmar sig när indata kommer godtyckligt nära en punkt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Detta innebär att när xx kommer godtyckligt nära aa närmar sig f(x)f(x) värdet LL.

Note
Notering

Funktionen behöver inte vara definierad vid x=ax=a för att gränsen ska existera.

Ensidiga och tvåsidiga gränsvärden

Ett gränsvärde kan närmas från båda sidor:

  • Vänstersidigt gränsvärde: närmar sig aa från värden mindre än aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Högersidigt gränsvärde: närmar sig aa från värden större än aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Gränsvärdet existerar endast om båda ensidiga gränsvärden är lika:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

När gränsvärden inte existerar

Ett gränsvärde existerar inte i följande fall:

  • Språngdiskontinuitet:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Exempel: en stegfunktion där vänster och höger gränsvärde är olika.
  • Oändligt gränsvärde:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Funktionen växer obegränsat.
  • Oscillation:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Funktionen fluktuerar oändligt utan att närma sig ett enda värde.

Särskilt fall – gränsvärden vid oändligheten

När xx närmar sig oändligheten analyseras funktionernas ändbeteende:

  • Rationella funktioner:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynomväxt:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regel för dominerande term:
lim⁡x→∞axmbxn={0, om m<n,ab, om m=n,±∞, om m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{om } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{om } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{om } m > n. \end{cases}
question mark

Vilket påstående beskriver korrekt när en gräns existerar?

Select the correct answer

Var allt tydligt?

Hur kan vi förbättra det?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 3. Kapitel 1
some-alt