Lära Introduktioner till derivator

Definition

En derivata är ett mått på hur en funktion förändras när dess indata förändras. Den representerar förändringshastigheten för funktionen och är grundläggande för att analysera trender, optimera processer och förutsäga beteenden inom områden som fysik, ekonomi och maskininlärning.

Gränsvärdesdefinitionen av en derivata

Derivatan av en funktion $f(x)$ vid en specifik punkt $x = a$ ges av:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Denna formel visar hur mycket $f(x)$ förändras när vi tar ett litet steg $h$ längs x-axeln. Ju mindre $h$ blir, desto närmare kommer vi den momentana förändringshastigheten.

Grundläggande deriveringsregler

Potensregeln

Om en funktion är en potens av $x$ , följer derivatan:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Detta innebär att vid derivering tar vi ner exponenten och minskar den med ett:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstantregeln

Derivatan av en konstant är noll:

\frac{d}{dx}C=0

Till exempel, om $f(x) = 5$ , då gäller:

\frac{d}{dx}5=0

Summations- och differensregeln

Derivatan av en summa eller differens av funktioner ges av:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Exempel på separat derivering:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- och kvotregler

Produktregeln

Om två funktioner multipliceras, beräknas derivatan enligt:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Detta innebär att varje funktion deriveras separat och deras produkter summeras. Om $f(x)=x^2$ och $g(x) = e^x$ , då gäller:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Kvotregeln

Vid division av funktioner används:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Om $f(x)=x^2$ och $g(x)=x+1$ , då:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kedjeregeln: Derivering av sammansatta funktioner

Vid derivering av inbäddade funktioner används:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Till exempel, om $y = (3x + 2)^5$ , då:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Denna regel är avgörande inom neurala nätverk och maskininlärningsalgoritmer.

Exempel på kedjeregel för exponentialfunktion:

Vid derivering av uttryck som:

y =e^{2x^2}

Här hanteras en sammansatt funktion:

Yttre funktion: $e^u$
Inre funktion: $u = 2x^2$

Tillämpa kedjeregeln steg för steg:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Multiplicera sedan med den ursprungliga exponentialfunktionen:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Studera vidare

Inom maskininlärning och neurala nätverk uppstår detta vid arbete med exponentiella aktiveringsfunktioner eller förlustfunktioner.

Exempel på logaritmisk kedjeregel:

Låt oss derivera $\ln(2x)$ . Även här är det en sammansatt funktion — logaritm på utsidan, linjär funktion på insidan.

Derivera den inre delen:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Applicera nu kedjeregeln på logaritmen:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Vilket förenklas till:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Notera

Även om du deriverar $\ln(kx)$ , är resultatet alltid $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ eftersom konstanterna tar ut varandra.

Särskilt fall: Derivatan av sigmoidfunktionen

Sigmoidfunktionen används ofta inom maskininlärning:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Dess derivata spelar en nyckelroll vid optimering:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Om $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , då gäller:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Denna formel säkerställer att gradienterna förblir jämna under träning.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 3. Kapitel 3

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn