Lära Implementering av Gränsvärden i Python

Innan du undersöker hur gränsvärden beter sig visuellt, behöver du veta hur du beräknar dem direkt med hjälp av biblioteket sympy. Här är tre vanliga typer av gränsvärden som du kommer att stöta på.

1. Ändligt gränsvärde

Detta exempel visar en funktion som närmar sig ett specifikt ändligt värde när $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Gränsvärde som inte existerar

Här beter sig funktionen olika från vänster och höger sida, så gränsvärdet existerar inte.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Oändlig gräns

Detta exempel visar en funktion som närmar sig noll när (x) växer mot oändligheten.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Dessa korta kodexempel visar hur man använder sympy.limit() för att beräkna olika typer av gränsvärden – ändliga, odefinierade och oändliga – innan de analyseras grafiskt

Definiera funktionerna

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: en enkel linjär funktion där vänster- och högergränsvärdena skiljer sig åt;
f_same: den klassiska inversa funktionen, som närmar sig samma gränsvärde från båda sidor;
f_special: ett välkänt gränsvärde i analysen, vilket är 1 när $x \to 0$ .

Hantering av division med noll

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funktionen f_same = 1/x har ett problem vid $x = 0$ (division med noll), så vi ersätter det med NaN (Not a Number) för att undvika fel;
För f_special vet vi att $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , så vi tilldelar manuellt $1$ när $x = 0$ .

Rita ut horisontella asymptoter

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funktionen 1/x har en horisontell asymptot vid $y = 0$ ;
Funktionen sin(x)/x närmar sig $y = 1$ , så vi lägger till en röd streckad linje för tydlighet.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 3. Kapitel 2

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn