Summary  
The chapter demonstrates how to compute and analyze finite, infinite, and undefined limits symbolically in Python using sympy, handle singularities like division by zero with conditional evaluation, and visualize asymptotes through plotting.  

General domain of usage  
Mathematical analysis

Innan du undersöker hur gränsvärden beter sig visuellt behöver du veta hur du **beräknar dem direkt** med hjälp av `sympy`-biblioteket.
Här är tre vanliga typer av gränsvärden som du kommer att stöta på.

## 1. Ändligt gränsvärde

Detta exempel visar en funktion som närmar sig ett **specifikt ändligt värde** när $$x \to 2$$.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

## 2. Gränsvärde som inte existerar

Här beter sig funktionen olika från vänster och höger, så gränsvärdet **existerar inte**.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

## 3. Oändlig gräns

Detta exempel visar en funktion som **närmar sig noll** när (x) växer mot oändligheten.


import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Dessa korta kodexempel visar hur `sympy.limit()` används för att beräkna olika typer av gränsvärden – ändliga, odefinierade och oändliga – innan de analyseras grafiskt


## Definiera funktionerna

```
f_diff = (2 - x)  # Approaches +∞ as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x
```
- `f_diff`: en enkel linjär funktion där vänster- och högergränsvärdena divergerar;
- `f_same`: den klassiska inversa funktionen, som närmar sig samma gränsvärde från båda sidor;
- `f_special`: ett välkänt gränsvärde inom analysen, vilket är **1** när $$x \to 0$$.


## Hantering av division med noll

```
y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]
```

- Funktionen `f_same = 1/x` har ett problem vid $$x = 0$$ (division med noll), så vi ersätter det med `NaN` (Not a Number) för att undvika fel;
- För `f_special` vet vi att $$\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$$, så vi tilldelar manuellt $$1$$ när $$x = 0$$.

## Rita ut horisontella asymptoter

```
axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")
```

- Funktionen `1/x` har en horisontell asymptot vid $$y = 0$$;
- Funktionen `sin(x)/x` närmar sig $$y = 1$$, så vi lägger till en **röd streckad linje** för tydlighet i visualiseringen.

Vilken `sympy`-funktion används för att beräkna gränsvärdet av en funktion i Python?

Behärska de matematiska grunderna som är avgörande för data science. Utforska centrala begrepp inom funktioner, analys, linjär algebra, sannolikhet och dimensionsreduktion. Bygg både teoretisk förståelse och praktisk kodningsvana för att stärka din förmåga att analysera data, modellera komplexa system och tillämpa avancerade tekniker inom maskininlärning.

Utforska grunderna för matematiska funktioner. Lär dig olika typer av algebraiska och transcendenta funktioner, deras egenskaper och hur de implementeras i Python för att lösa verkliga problem.

Behärska begreppen mängder och serier, från grundläggande operationer till praktiska tillämpningar. Få praktisk erfarenhet av att implementera mängdoperationer och arbeta med aritmetiska och geometriska serier i Python.

Utveckla en gedigen förståelse för gränsvärden, derivator, integraler och partiella derivator. Knyt samman teori och praktik genom att implementera dessa begrepp i Python och tillämpa dem på optimering med hjälp av gradientnedstigning.

Bygg gedigna kunskaper om vektorer, matriser och transformationer. Lär dig dekompositionsmetoder och egenvärdesanalys, samtidigt som begreppen förstärks med Python-programmeringsutmaningar och praktiska tillämpningar inom data science.

Fördjupa dig i sannolikhetsteori och statistik. Studera betingad sannolikhet, Bayes sats och statistiska mått. Implementera centrala koncept i Python, simulera fördelningar och stärk dina färdigheter genom utmaningar och frågesporter.

Implementering av Gränsvärden i Python

1. Ändligt gränsvärde

2. Gränsvärde som inte existerar

3. Oändlig gräns

Definiera funktionerna

Hantering av division med noll

Rita ut horisontella asymptoter