Lära Introduktion till Serier | Mängder och Serier

Definition

En serie är ett matematiskt uttryck som bildas genom att addera termerna i en följd. De vanligaste typerna är aritmetiska serier och geometriska serier, vilka skiljer sig åt i hur deras termer utvecklas.

Aritmetiska serier

En aritmetisk serie bildas när skillnaden mellan på varandra följande termer i en följd är konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summan av de första $n$ termerna i en aritmetisk serie ges av:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Där:

$n$ - antal termer;
$a$ - första termen;
$l$ - sista termen.

Alternativt, om sista termen $l$ inte är känd:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exempel

Bestäm summan av de första 10 termerna i serien $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk serie

En geometrisk serie bildas när varje term i sekvensen multipliceras med ett fast förhållande för att få nästa term.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Summan av de första $n$ termerna i en geometrisk serie ges av:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Där:

$a$ – första termen;
$r$ – gemensamt förhållande;
$n$ – antal termer.

Om serien är oändlig och $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Exempel:

Bestäm summan av de första 4 termerna i serien $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Tillämpningar i verkliga världen

Aritmetiska och geometriska serier förekommer i många datavetenskapliga sammanhang:

Befolkningstillväxt och resursmodellering genom geometriska talföljder;
Finansiell analys med hjälp av beräkningar av ränta-på-ränta;
Intäktsprognoser över tidsperioder;
Maskininlärning, där summor förekommer i algoritmer som gradientnedstigning.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 4

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Svep för att visa menyn

Definition

Aritmetiska serier

En aritmetisk serie bildas när skillnaden mellan på varandra följande termer i en följd är konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summan av de första $n$ termerna i en aritmetisk serie ges av:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Där:

$n$ - antal termer;
$a$ - första termen;
$l$ - sista termen.

Alternativt, om sista termen $l$ inte är känd:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exempel

Bestäm summan av de första 10 termerna i serien $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk serie

En geometrisk serie bildas när varje term i sekvensen multipliceras med ett fast förhållande för att få nästa term.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Summan av de första $n$ termerna i en geometrisk serie ges av:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Där:

$a$ – första termen;
$r$ – gemensamt förhållande;
$n$ – antal termer.

Om serien är oändlig och $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Exempel:

Bestäm summan av de första 4 termerna i serien $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Tillämpningar i verkliga världen

Aritmetiska och geometriska serier förekommer i många datavetenskapliga sammanhang:

Befolkningstillväxt och resursmodellering genom geometriska talföljder;
Finansiell analys med hjälp av beräkningar av ränta-på-ränta;
Intäktsprognoser över tidsperioder;
Maskininlärning, där summor förekommer i algoritmer som gradientnedstigning.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 4