Summary  
This chapter explains how to implement code to calculate the sum of arithmetic and geometric series using closed-form formulas (including handling infinite geometric series convergence).

General domain of usage  
Financial analysis

**En serie** är ett matematiskt uttryck som bildas genom att addera termerna i en följd. De vanligaste typerna är **aritmetiska serier** och **geometriska serier**, vilka skiljer sig åt i hur deras termer utvecklas.


Definition

## Aritmetisk serie

En **aritmetisk serie** bildas när skillnaden mellan på varandra följande termer i en följd är konstant.

$$
2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)
$$

Summan av de första $$n$$ termerna i en aritmetisk serie ges av:

$$
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
$$

Där:
- $$n$$ - antal termer;
- $$a$$ - första termen;
- $$l$$ - sista termen.

Alternativt, om sista termen $$l$$ inte är känd:

$$
S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)
$$

### Exempel

Bestäm summan av de **första 10** termerna i serien $$2,5,8,...$$

$$
S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145
$$

## Geometrisk serie

En **geometrisk serie** bildas när varje term i följden multipliceras med ett fast förhållande för att erhålla nästa term.
 
$$
3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)
$$ 


Summan av de första $$n$$ termerna i en geometrisk serie ges av:
 
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1
$$

Där:
- $$a$$ – första termen;
- $$r$$ – gemensamt förhållande;
- $$n$$ – antal termer.

Om serien är **oändlig** och $$|r|<1$$:

$$
S = \frac{a}{1 - r}
$$


### Exempel:
Bestäm summan av de **första 4** termerna i serien $$3,6,12,24,...$$

$$
S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45
$$


## Tillämpningar i verkliga världen

Aritmetiska och geometriska serier förekommer i många datavetenskapliga sammanhang:

* **Befolkningstillväxt** och **resursmodellering** genom geometriska talföljder;
* **Finansiell analys** med hjälp av beräkningar av ränta-på-ränta;
* **Intäktsprognoser** över tidsperioder;
* **Maskininlärning**, där summeringar förekommer i algoritmer som gradientnedstigning.


$$a=1$$, $$r=0.5$$ och $$n=\infty$$, vad är summan av den oändliga geometriska serien?

Behärska de matematiska grunderna som är avgörande för data science. Utforska centrala begrepp inom funktioner, analys, linjär algebra, sannolikhet och dimensionsreduktion. Bygg både teoretisk förståelse och praktisk kodningsvana för att stärka din förmåga att analysera data, modellera komplexa system och tillämpa avancerade tekniker inom maskininlärning.

Utforska grunderna för matematiska funktioner. Lär dig olika typer av algebraiska och transcendenta funktioner, deras egenskaper och hur de implementeras i Python för att lösa verkliga problem.

Behärska begreppen mängder och serier, från grundläggande operationer till praktiska tillämpningar. Få praktisk erfarenhet av att implementera mängdoperationer och arbeta med aritmetiska och geometriska serier i Python.

Utveckla en gedigen förståelse för gränsvärden, derivator, integraler och partiella derivator. Knyt samman teori och praktik genom att implementera dessa begrepp i Python och tillämpa dem på optimering med hjälp av gradientnedstigning.

Bygg gedigna kunskaper om vektorer, matriser och transformationer. Lär dig dekompositionsmetoder och egenvärdesanalys, samtidigt som begreppen förstärks med Python-programmeringsutmaningar och praktiska tillämpningar inom data science.

Fördjupa dig i sannolikhetsteori och statistik. Studera betingad sannolikhet, Bayes sats och statistiska mått. Implementera centrala koncept i Python, simulera fördelningar och stärk dina färdigheter genom utmaningar och frågesporter.

Introduktion till serier

Aritmetisk serie

Exempel

Geometrisk serie

Exempel:

Tillämpningar i verkliga världen