Summary  
This chapter covers constructing a quadratic regression model by extending the feature matrix with squared terms and solving for the optimal coefficients using the normal equation.  

General domain of usage  
Machine learning

## Problemet med linjär regression
Innan vi definierar polynomregression ska vi titta på ett fall där den linjära regressionen vi har lärt oss tidigare inte fungerar särskilt bra.

Här kan du se att vår enkla linjära regressionsmodell presterar dåligt. Det beror på att den försöker anpassa en rak linje till datapunkterna. Vi kan dock notera att det skulle vara ett mycket bättre val att anpassa en parabel till våra punkter.

## Kvadratisk regressions-ekvation
För att skapa en linjär modell använde vi en linjens ekvation (**y=ax+b**). För att skapa en parabolisk modell behöver vi en parabels ekvation. Det är den kvadratiska ekvationen: **y=ax²+bx+c**. Om vi byter ut **a**, **b** och **c** mot **β** får vi **kvadratisk regressions-ekvation**:

Modellen som denna ekvation beskriver kallas **kvadratisk regression**. Precis som tidigare behöver vi bara hitta de bästa parametrarna för våra datapunkter.

## Normala ekvationen och X̃
Som alltid hanterar den normala ekvationen att hitta de bästa parametrarna. Men vi behöver definiera **X̃** korrekt.

Vi vet redan hur man bygger **X̃**-matrisen för multipel linjär regression. Det visar sig att **X̃**-matrisen för polynomregression konstrueras på liknande sätt. Vi kan betrakta **x²** som en andra variabel. På så sätt behöver vi lägga till en ny motsvarande kolumn till **X̃**. Den kommer att innehålla samma värden som den föregående kolumnen, men upphöjda till två.  <br><br> 
Videon nedan visar hur man bygger **X̃**.

Linjär regression är ett avgörande begrepp inom prediktiv analys. Det används ofta av data scientists, dataanalytiker och statistiker eftersom det är enkelt att bygga och tolka men tillräckligt kraftfullt för många uppgifter.

Vi börjar med den enklaste modellen för linjär regression. Du kommer att lära dig grunderna i linjär regression och hur man gör prediktioner i Python.

De flesta prediktionsuppgifter i verkliga tillämpningar involverar fler än en variabel. Du kommer att lära dig hur man hanterar linjär regression med flera variabler.

En rät linje beskriver inte alltid data på ett tillfredsställande sätt. Lär dig hur du bygger en mer komplex modell för prediktion. Det är vad polynomregression är avsedd för.

Nu när du vet hur man bygger flera linjära regressionsmodeller behöver du ett sätt att välja den bästa. Detta är möjligt med hjälp av metrik. Denna sektion förklarar de mest använda metoderna och de svårigheter du kan stöta på när du använder dem.

Kvadratisk Regression

Problemet med linjär regression

Kvadratisk regressions-ekvation

Normala ekvationen och X̃