Lära Implementering av Backpropagation | Neuronnätverk Från Grunden

Allmän metod

Vid framåtriktad spridning tar varje lager $l$ utdata från föregående lager, $a^{l-1}$ , som indata och beräknar sina egna utdata. Därför tar metoden forward() i klassen Layer vektorn av föregående utdata som sin enda parameter, medan övrig nödvändig information lagras inom klassen.

Vid bakåtriktad spridning behöver varje lager $l$ endast $da^l$ för att beräkna respektive gradienter och returnera $da^{l-1}$ , så metoden backward() tar vektorn $da^l$ som parameter. Resterande nödvändig information finns redan lagrad i klassen Layer.

Derivator av aktiveringsfunktioner

Eftersom derivator av aktiveringsfunktioner krävs för bakåtriktad spridning, bör aktiveringsfunktioner som ReLU och sigmoid implementeras som klasser istället för fristående funktioner. Denna struktur möjliggör tydlig definition av båda komponenterna:

Själva aktiveringsfunktionen — implementerad med metoden __call__(), så att den kan tillämpas direkt i klassen Layer med self.activation(z);
Dess derivata — implementerad med metoden derivative(), vilket möjliggör effektiv beräkning under bakåtriktad spridning via self.activation.derivative(z).

Att representera aktiveringsfunktioner som objekt gör det enkelt att överföra dem till olika lager och tillämpa dem dynamiskt under både framåt- och bakåtriktad spridning.

ReLu

Derivatan av ReLU-aktiveringsfunktionen är följande, där $z_i$ är ett element i vektorn av preaktiveringar $z$ :

f'(z_i) = \begin{cases} 1, z_i > 0\\ 0, z_i \le 0 \end{cases}

class ReLU:
    def __call__(self, z):
        return np.maximum(0, z)

    def derivative(self, z):
        return (z > 0).astype(float)

Sigmoid

Derivatan av sigmoid-aktiveringsfunktionen är följande:

f'(z_i) = f(z_i) \cdot (1 - f(z_i))

class Sigmoid:
    def __call__(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))

    def derivative(self, z):
        sig = self(z)
        return sig * (1 - sig)

För båda aktiveringsfunktionerna tillämpas operationen på hela vektorn $z$ , samt på dess derivata. NumPy utför automatiskt beräkningen elementvis, vilket innebär att varje element i vektorn behandlas oberoende.

Till exempel, om vektorn $z$ innehåller tre element, beräknas derivatan som:

f'(z) = f'\left( \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} f'(z_1)\\ f'(z_2)\\ f'(z_3) \end{bmatrix}

Metoden backward()

Metoden backward() ansvarar för beräkning av gradienter med hjälp av formlerna nedan:

\begin{aligned} dz^l &= da^l \odot f'^l(z^l)\\ dW^l &= dz^l \cdot (a^{l-1})^T\\ db^l &= dz^l\\ da^{l-1} &= (W^l)^T \cdot dz^l \end{aligned}

a^{l-1} och $z^l$ lagras som attributen inputs respektive outputs i klassen Layer. Aktiveringsfunktionen $f$ lagras som attributet activation.

När alla nödvändiga gradienter har beräknats kan vikterna och biaserna uppdateras eftersom de inte längre behövs för vidare beräkningar:

\begin{aligned} W^l &= W^l - \alpha \cdot dW^l\\ b^l &= b^l - \alpha \cdot db^l \end{aligned}

Därför är learning_rate ( $\alpha$ ) en annan parameter för denna metod.

def backward(self, da, learning_rate):
    dz = ...
    d_weights = ...
    d_biases = ...
    da_prev = ...

    self.weights -= learning_rate * d_weights
    self.biases -= learning_rate * d_biases

    return da_prev

Notera

*-operatorn utför elementvis multiplikation, medan funktionen np.dot() utför skalärprodukt i NumPy. Attributet .T transponerar en array.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 8

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Svep för att visa menyn