Lära Implementering av Backpropagation | Neuronnätverk Från Grunden

Allmän metod

Vid framåtriktad spridning tar varje lager $l$ utdata från föregående lager, $a^{l-1}$ , som indata och beräknar sina egna utdata. Därför tar metoden forward() i klassen Layer vektorn av föregående utdata som sin enda parameter, medan övrig nödvändig information lagras inom klassen.

Vid bakåtriktad spridning behöver varje lager $l$ endast $da^l$ för att beräkna respektive gradienter och returnera $da^{l-1}$ , så metoden backward() tar vektorn $da^l$ som sin parameter. Övrig nödvändig information är redan lagrad i klassen Layer.

Derivator av aktiveringsfunktioner

Eftersom derivator av aktiveringsfunktioner behövs för bakåtriktad spridning, bör aktiveringsfunktioner som ReLU och sigmoid struktureras som klasser istället för fristående funktioner. Detta gör det möjligt att definiera både:

Själva aktiveringsfunktionen (implementerad via metoden __call__()), vilket möjliggör direkt användning i klassen Layer med self.activation(z);
Dess derivata (implementerad via metoden derivative()), vilket möjliggör effektiv bakåtriktad spridning och används i klassen Layer som self.activation.derivative(z).

Genom att strukturera aktiveringsfunktioner som objekt kan de enkelt överföras till klassen Layer och användas dynamiskt.

ReLu

Derivatan av ReLU-aktiveringsfunktionen är följande, där $z_i$ är ett element i vektorn av pre-aktiveringar $z$ :

f'(z_i) = \begin{cases} 1, z_i > 0\\ 0, z_i \le 0 \end{cases}

class ReLU:
    def __call__(self, z):
        return np.maximum(0, z)

    def derivative(self, z):
        return (z > 0).astype(float)

Sigmoid

Derivatan av sigmoidaktiveringsfunktionen är följande:

f'(z_i) = f(z_i) \cdot (1 - f(z_i))

class Sigmoid:
    def __call__(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))

    def derivative(self, z):
        sig = self(z)
        return sig * (1 - sig)

För båda dessa aktiveringsfunktioner tillämpar vi dem på hela vektorn $z$ , och detsamma gäller för deras derivator. NumPy tillämpar internt operationen på varje element i vektorn. Till exempel, om vektorn $z$ innehåller 3 element, är derivatan enligt följande:

f'(z) = f'( \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} f'(z_1)\\ f'(z_2)\\ f'(z_3) \end{bmatrix}

backward()-metoden

Metoden backward() ansvarar för beräkning av gradienter med hjälp av formlerna nedan:

\begin{aligned} dz^l &= da^l \odot f'^l(z^l)\\ dW^l &= dz^l \cdot (a^{l-1})^T\\ db^l &= dz^l\\ da^{l-1} &= (W^l)^T \cdot dz^l \end{aligned}

a^{l-1} och $z^l$ lagras som attributen inputs respektive outputs i klassen Layer. Aktiveringsfunktionen $f$ lagras som attributet activation.

När alla nödvändiga gradienter har beräknats kan vikter och bias uppdateras eftersom de inte längre behövs för ytterligare beräkningar:

\begin{aligned} W^l &= W^l - \alpha \cdot dW^l\\ b^l &= b^l - \alpha \cdot db^l \end{aligned}

Därför är learning_rate ( $\alpha$ ) en annan parameter för denna metod.

def backward(self, da, learning_rate):
    dz = ...
    d_weights = ...
    d_biases = ...
    da_prev = ...

    self.weights -= learning_rate * d_weights
    self.biases -= learning_rate * d_biases

    return da_prev

Notera

*-operatorn utför elementvis multiplikation, medan funktionen np.dot() utför skalärprodukt i NumPy. Attributet .T transponerar en array.

Var allt tydligt?

Tack för dina kommentarer!

Avsnitt 2. Kapitel 8

Fråga AI

Fråga vad du vill eller prova någon av de föreslagna frågorna för att starta vårt samtal

Awesome!

Completion rate improved to 4

Svep för att visa menyn