Вивчайте Дисперсія, Коваріація та Матриця Коваріацій

Визначення

Дисперсія вимірює, наскільки змінна відхиляється від свого середнього значення.

Формула дисперсії змінної $x$ :

\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

Визначення

Коваріація вимірює, як дві змінні змінюються разом.

Формула коваріації змінних $x$ та $y$ має вигляд:

\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Коваріаційна матриця узагальнює коваріацію для декількох змінних. Для набору даних $X$ з $d$ ознаками та $n$ зразками коваріаційна матриця $\Sigma$ є $d \times d$ матрицею, де кожен елемент $\Sigma_{ij}$ — це коваріація між ознакою $i$ та ознакою $j$ , обчислена з дільником $n-1$ для отримання незміщеної оцінки.


              12345678910111213
            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)

У наведеному вище коді дані спочатку центруються, після чого коваріаційна матриця обчислюється за допомогою матричного множення. Ця матриця відображає, як кожна пара ознак змінюється разом.

Яке твердження точно описує взаємозв’язок між дисперсією, коваріацією та матрицею коваріацій?

Select the correct answer

Матриця коваріацій містить лише дисперсії як на діагоналі, так і на позадіагональних елементах.

Дисперсія є окремим випадком коваріації, а матриця коваріацій узагальнює коваріацію для всіх пар ознак у наборі даних.

Дисперсія та коваріація не пов’язані між собою та обчислюються за допомогою різних перетворень даних.

Коваріація завжди дорівнює нулю, якщо змінні пов’язані.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 1

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain why we center the data before computing the covariance matrix?

What is the difference between dividing by n and n-1 in the covariance calculation?

How do I interpret the values in the covariance matrix?

Awesome!

Completion rate improved to 8.33

Свайпніть щоб показати меню

Визначення

Дисперсія вимірює, наскільки змінна відхиляється від свого середнього значення.

Формула дисперсії змінної $x$ :

\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

Визначення

Коваріація вимірює, як дві змінні змінюються разом.

Формула коваріації змінних $x$ та $y$ має вигляд:

\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})


              12345678910111213
            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)

Яке твердження точно описує взаємозв’язок між дисперсією, коваріацією та матрицею коваріацій?

Select the correct answer

Матриця коваріацій містить лише дисперсії як на діагоналі, так і на позадіагональних елементах.

Дисперсія та коваріація не пов’язані між собою та обчислюються за допомогою різних перетворень даних.

Коваріація завжди дорівнює нулю, якщо змінні пов’язані.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 1