Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Поліпшення Політики | Динамічне програмування
Вступ до навчання з підкріпленням

bookПоліпшення Політики

Note
Визначення

Покращення політики — це процес удосконалення політики на основі поточних оцінок функції цінності.

Note
Примітка

Як і у випадку з оцінкою політики, покращення політики може працювати як з функцією цінності стану, так і з функцією цінності дії. Однак для методів динамічного програмування використовується функція цінності стану.

Тепер, коли ви можете оцінювати функцію цінності стану для будь-якої політики, логічним наступним кроком є дослідити, чи існують політики, кращі за поточну. Один зі способів це зробити — розглянути виконання іншої дії aa у стані ss, а потім дотримуватися поточної політики. Якщо це здається знайомим, то це тому, що це схоже на визначення функції цінності дії:

qπ(s,a)=∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))q_\pi(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr)

Якщо це нове значення перевищує початкове значення стану vπ(s)v_\pi(s), це свідчить про те, що виконання дії aa у стані ss з подальшим дотриманням політики π\pi призводить до кращих результатів, ніж суворе дотримання політики π\pi. Оскільки стани є незалежними, оптимально завжди обирати дію aa щоразу, коли зустрічається стан ss. Таким чином, можна побудувати покращену політику π′\pi', ідентичну π\pi, за винятком того, що вона обирає дію aa у стані ss, що буде кращим за початкову політику π\pi.

Теорема покращення політики

Викладене вище міркування можна узагальнити як теорему покращення політики:

qπ(s,π′(s))≥vπ(s)∀s∈S  ⟹  vπ′(s)≥vπ(s)∀s∈S\begin{aligned} &q_\pi(s, \pi'(s)) \ge v_\pi(s) \qquad &\forall s \in S\\ \implies &v_{\pi'}(s) \ge v_\pi(s) \qquad &\forall s \in S \end{aligned}

Доведення цієї теореми є відносно простим і може бути виконане за допомогою багаторазової підстановки:

vπ(s)≤qπ(s,π′(s))=E⁡π′[Rt+1+γvπ(St+1)∣St=s]≤E⁡π′[Rt+1+γqπ(St+1,π′(St+1))∣St=s]=E⁡π′[Rt+1+γE⁡π′[Rt+2+γvπ(St+2)]∣St=s]=E⁡π′[Rt+1+γRt+2+γ2vπ(St+2)∣St=s]...≤E⁡π′[Rt+1+γRt+2+γ2Rt+3+...∣St=s]=vπ′(s)\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} v_\pi(s) &\le q_\pi(s, \pi'(s))\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) | S_t = s]\\ &\le \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma q_\pi(S_{t+1}, \pi'(S_{t+1})) | S_t = s]\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma \E_{\pi'}[R_{t+2} + \gamma v_\pi(S_{t+2})] | S_t = s]\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 v_\pi(S_{t+2}) | S_t = s]\\ &...\\ &\le \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s]\\ &= v_{\pi'}(s) \end{aligned}

Стратегія покращення

Оновлення дій для окремих станів може призвести до покращення, але більш ефективно оновлювати дії для всіх станів одночасно. Зокрема, для кожного стану ss обирається дія aa, яка максимізує значення дії qπ(s,a)q_\pi(s, a):

π′(s)←arg max⁡aqπ(s,a)←arg max⁡a∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))\begin{aligned} \pi'(s) &\gets \argmax_a q_\pi(s, a)\\ &\gets \argmax_a \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr) \end{aligned}

де arg max⁡\argmax (скорочено від argument of the maximum) — це оператор, що повертає значення змінної, при якому функція досягає максимуму.

Отримана жадібна політика, що позначається як π′\pi', за своєю конструкцією задовольняє умови теореми покращення політики, гарантуючи, що π′\pi' є не гіршою за початкову політику π\pi, а зазвичай — кращою.

Якщо π′\pi' є такою ж доброю, але не кращою за π\pi, тоді обидві π′\pi' і π\pi є оптимальними політиками, оскільки їхні функції значення рівні та задовольняють рівняння оптимальності Беллмана:

vπ(s)=max⁡a∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))v_\pi(s) = \max_a \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr)
question mark

Як прийняття жадібної політики гарантує покращення порівняно з попередньою політикою?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 5

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 2.7

bookПоліпшення Політики

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Покращення політики — це процес удосконалення політики на основі поточних оцінок функції цінності.

Note
Примітка

Як і у випадку з оцінкою політики, покращення політики може працювати як з функцією цінності стану, так і з функцією цінності дії. Однак для методів динамічного програмування використовується функція цінності стану.

Тепер, коли ви можете оцінювати функцію цінності стану для будь-якої політики, логічним наступним кроком є дослідити, чи існують політики, кращі за поточну. Один зі способів це зробити — розглянути виконання іншої дії aa у стані ss, а потім дотримуватися поточної політики. Якщо це здається знайомим, то це тому, що це схоже на визначення функції цінності дії:

qπ(s,a)=∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))q_\pi(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr)

Якщо це нове значення перевищує початкове значення стану vπ(s)v_\pi(s), це свідчить про те, що виконання дії aa у стані ss з подальшим дотриманням політики π\pi призводить до кращих результатів, ніж суворе дотримання політики π\pi. Оскільки стани є незалежними, оптимально завжди обирати дію aa щоразу, коли зустрічається стан ss. Таким чином, можна побудувати покращену політику π′\pi', ідентичну π\pi, за винятком того, що вона обирає дію aa у стані ss, що буде кращим за початкову політику π\pi.

Теорема покращення політики

Викладене вище міркування можна узагальнити як теорему покращення політики:

qπ(s,π′(s))≥vπ(s)∀s∈S  ⟹  vπ′(s)≥vπ(s)∀s∈S\begin{aligned} &q_\pi(s, \pi'(s)) \ge v_\pi(s) \qquad &\forall s \in S\\ \implies &v_{\pi'}(s) \ge v_\pi(s) \qquad &\forall s \in S \end{aligned}

Доведення цієї теореми є відносно простим і може бути виконане за допомогою багаторазової підстановки:

vπ(s)≤qπ(s,π′(s))=E⁡π′[Rt+1+γvπ(St+1)∣St=s]≤E⁡π′[Rt+1+γqπ(St+1,π′(St+1))∣St=s]=E⁡π′[Rt+1+γE⁡π′[Rt+2+γvπ(St+2)]∣St=s]=E⁡π′[Rt+1+γRt+2+γ2vπ(St+2)∣St=s]...≤E⁡π′[Rt+1+γRt+2+γ2Rt+3+...∣St=s]=vπ′(s)\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} v_\pi(s) &\le q_\pi(s, \pi'(s))\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1}) | S_t = s]\\ &\le \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma q_\pi(S_{t+1}, \pi'(S_{t+1})) | S_t = s]\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma \E_{\pi'}[R_{t+2} + \gamma v_\pi(S_{t+2})] | S_t = s]\\ &= \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 v_\pi(S_{t+2}) | S_t = s]\\ &...\\ &\le \E_{\pi'}[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s]\\ &= v_{\pi'}(s) \end{aligned}

Стратегія покращення

Оновлення дій для окремих станів може призвести до покращення, але більш ефективно оновлювати дії для всіх станів одночасно. Зокрема, для кожного стану ss обирається дія aa, яка максимізує значення дії qπ(s,a)q_\pi(s, a):

π′(s)←arg max⁡aqπ(s,a)←arg max⁡a∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))\begin{aligned} \pi'(s) &\gets \argmax_a q_\pi(s, a)\\ &\gets \argmax_a \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr) \end{aligned}

де arg max⁡\argmax (скорочено від argument of the maximum) — це оператор, що повертає значення змінної, при якому функція досягає максимуму.

Отримана жадібна політика, що позначається як π′\pi', за своєю конструкцією задовольняє умови теореми покращення політики, гарантуючи, що π′\pi' є не гіршою за початкову політику π\pi, а зазвичай — кращою.

Якщо π′\pi' є такою ж доброю, але не кращою за π\pi, тоді обидві π′\pi' і π\pi є оптимальними політиками, оскільки їхні функції значення рівні та задовольняють рівняння оптимальності Беллмана:

vπ(s)=max⁡a∑s′,rp(s′,r∣s,a)(r+γvπ(s′))v_\pi(s) = \max_a \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr)
question mark

Як прийняття жадібної політики гарантує покращення порівняно з попередньою політикою?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 5
some-alt