Summary  
This chapter shows how to implement code to calculate conditional probability and Bayes’ theorem—computing joint, marginal, and posterior probabilities—and printing the results.

General domain of usage  
Medical testing

## Умовна ймовірність

Умовна ймовірність визначає ймовірність настання події за умови, що інша подія вже відбулася.

**Формула:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$

P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

**Інтерпретація:**
якщо йде дощ, ймовірність запізнення на роботу становить 50%.

## Теорема Байєса

Теорема Байєса дозволяє знайти $P(A|B)$, коли її важко виміряти безпосередньо, пов'язуючи її з $P(B|A)$, яку часто легше оцінити.

**Формула:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

Де:

* $$P(A \mid B)$$ — ймовірність A за умови B (цільова величина);
* $$P(B \mid A)$$ — ймовірність B за умови A;
* $$P(A)$$ — апріорна ймовірність A;
* $$P(B)$$ — повна ймовірність B.

**Розкриття $$P(B)$$**

$$
P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)
$$

P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

**Інтерпретація:**
Навіть якщо результат тесту позитивний, ймовірність того, що ви дійсно маєте захворювання, становить лише близько 16,7%.

## Основні висновки

* Умовна ймовірність визначає шанс події A за умови, що подія B вже відбулася;
* Теорема Байєса дозволяє змінювати умовні ймовірності для оновлення припущень, коли пряме вимірювання є складним;
* Обидва поняття є ключовими в науці про дані, медичних тестах та машинному навчанні.

Який результат виведе цей код?

Опановуйте математичні основи, необхідні для науки про дані. Досліджуйте ключові поняття функцій, математичного аналізу, лінійної алгебри, теорії ймовірностей та зниження розмірності. Формуйте як теоретичне розуміння, так і практичний досвід програмування для підвищення здатності аналізувати дані, моделювати складні системи та застосовувати сучасні методи машинного навчання.

Ознайомлення з основами математичних функцій. Вивчення різних типів алгебраїчних і трансцендентних функцій, їх властивостей і реалізації у Python для розв'язання прикладних задач.

Опанування понять множин і рядів: від базових операцій до практичного застосування. Практичний досвід реалізації операцій над множинами та роботи з арифметичними й геометричними рядами в Python.

Сформуйте ґрунтовне розуміння границь, похідних, інтегралів і часткових похідних. Поєднання теорії з практикою шляхом реалізації цих понять у Python та їх застосування до оптимізації за допомогою градієнтного спуску.

Сформуйте ґрунтовні знання про вектори, матриці та перетворення. Вивчайте методи декомпозиції та аналіз власних значень, закріплюючи концепції за допомогою завдань з програмування на Python і практичних застосувань у науці про дані.

Занурення в теорію ймовірностей і статистику. Вивчення умовної ймовірності, теореми Байєса та статистичних мір. Реалізація основних концепцій у Python, моделювання розподілів і вдосконалення навичок за допомогою завдань і вікторин.

Реалізація Умовної Ймовірності та Теореми Байєса в Python

Умовна ймовірність

Теорема Байєса

Основні висновки