Свайпніть щоб показати меню

Умовна ймовірність

Умовна ймовірність визначає шанс настання події за умови, що інша подія вже відбулася.

Формула:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Інтерпретація: якщо йде дощ, існує 50% ймовірність, що ви запізнитеся на роботу.

Теорема Байєса

Теорема Байєса допомагає знайти $P(A|B)$, коли її важко виміряти безпосередньо, пов'язуючи її з $P(B|A)$, яку часто легше оцінити.

Формула:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Де:

$P(A \mid B)$ — ймовірність A за умови B (наша ціль);
$P(B \mid A)$ — ймовірність B за умови A;
$P(A)$ — апріорна ймовірність A;
$P(B)$ — повна ймовірність B.

Розкриття $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Інтерпретація: Навіть якщо результат тесту позитивний, ймовірність того, що ви дійсно маєте захворювання, становить лише близько 16,7%.

Основні висновки

Умовна ймовірність визначає шанс події A за умови, що подія B вже відбулася;
Теорема Байєса дозволяє оновлювати ймовірності, коли пряме вимірювання складне;
Обидва поняття є ключовими в аналізі даних, медичних тестах і машинному навчанні.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 4

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Реалізація Умовної Ймовірності та Теореми Байєса в Python

Умовна ймовірність

Умовна ймовірність визначає шанс настання події за умови, що інша подія вже відбулася.

Формула:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Інтерпретація: якщо йде дощ, існує 50% ймовірність, що ви запізнитеся на роботу.

Теорема Байєса

Формула:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Де:

$P(A \mid B)$ — ймовірність A за умови B (наша ціль);
$P(B \mid A)$ — ймовірність B за умови A;
$P(A)$ — апріорна ймовірність A;
$P(B)$ — повна ймовірність B.

Розкриття $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Основні висновки

Умовна ймовірність визначає шанс події A за умови, що подія B вже відбулася;
Теорема Байєса дозволяє оновлювати ймовірності, коли пряме вимірювання складне;
Обидва поняття є ключовими в аналізі даних, медичних тестах і машинному навчанні.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 4