Розуміння Вибірки

Проста випадкова вибірка

Кожен елемент сукупності має однакову ймовірність бути обраним.
Це подібно до витягування імен із капелюха.

Де:

• $N$ = population size.

Приклад 1:

У вас є клас із 30 студентів. Потрібно випадково обрати 5 для опитування.

Розв'язок: Використайте генератор випадкових чисел, щоб обрати 5 унікальних чисел від 1 до 30. Кожен студент має $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ ймовірність бути обраним.

Приклад 2:

У вас є клас із 30 студентів, і потрібно обрати 5 для участі в опитуванні.

• Загальна сукупність: $N=30$;
• Розмір вибірки: $n=5$.

Яка ймовірність того, що і Аліса, і Боб будуть обрані?

Загальна кількість способів обрати 5 студентів із 30:

Кількість сприятливих вибірок, що містять і Алісу, і Боба:
Фіксуємо Алісу та Боба — обираємо ще 3 з решти 28:

Отже, ймовірність:

Стратифіковане вибіркове дослідження

Сукупність поділяється на значущі підгрупи (страти), і з кожної випадково відбираються зразки.

Де:

• $N_h$ — розмір підгрупи $h$;
• $N$ — загальний розмір сукупності;
• $n$ — загальний розмір вибірки;
• $n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ — розмір вибірки з підгрупи $h$.

Приклад:

У класі 30 студентів: 18 хлопців і 12 дівчат. Потрібно пропорційно відібрати 10 студентів:

• Серед хлопців: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$;
• Серед дівчат: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$.

Перевага: Забезпечує представлення ключових підгруп.

Кластерне вибіркове дослідження

Сукупність розбивається на групи (кластери), і випадково обираються цілі кластери.

Де:

• Кластери — це вже існуючі групи (наприклад, класи, команди);
• Випадково обираються цілі кластери, а не окремі особи.

Приклад 1:

У вашій школі є 5 класних кімнат. Потрібна вибірка з 25 учнів, але опитування кожного окремо займає надто багато часу.

Рішення: Випадковим чином оберіть 1 клас (оскільки в кожному приблизно 25 учнів) і опитайте всіх у ньому.

Приклад 2:

В університеті є 20 гуртожитків, у кожному проживає 50 студентів. Випадковим чином обираються 4 гуртожитки, і опитуються всі мешканці.

• Кількість кластерів: $N=20$;
• Вибрані кластери: $n=4$;
• Студентів у гуртожитку: $M=50$;
• Загальна кількість опитаних студентів: $n \times M = 200$.

Яка ймовірність того, що конкретний студент (наприклад, Сара) буде включений?
Вона дорівнює ймовірності того, що її гуртожиток буде обрано:

Складний випадок:
Якщо 10 гуртожитків мають по 30 студентів, а 10 — по 70 студентів, і випадково обираються 4 гуртожитки, яким буде очікуваний розмір вибірки?

Позначимо:

• $D_{30} = 10$ гуртожитків по 30 студентів;
• $D_{70} = 10$ гуртожитків по 70 студентів.

Очікуваний розмір вибірки:

Отже, навіть якщо кластери різного розміру, очікуваний розмір вибірки залишається незмінним, якщо типи гуртожитків збалансовані.

Систематичне вибіркове дослідження

Вибір кожного $k$-го елемента зі списку.

Де:

• $N$ — загальна сукупність;
• $n$ — бажаний розмір вибірки;
• $k$ — інтервал вибірки.

Приклад:

Список із 1000 клієнтів. Потрібна вибірка зі 100 осіб. Тоді:

Виберіть випадкову стартову точку (наприклад, 7), потім обирайте кожного 10-го клієнта: 7, 17, 27 тощо.

Переваги: Легко реалізується та є систематичним.

Усі методи, застосовані до однієї задачі

Постановка задачі:
Ви досліджуєте задоволеність їдальнею у школі з 300 учнями, розподіленими по 10 класах (по 30 у кожному). Потрібно отримати вибірку з 30 учнів.

• Простий випадковий відбір: випадковим чином оберіть 30 імен зі всього списку;
• Стратифікований відбір: якщо 60% хлопців і 40% дівчат, відібрати 18 хлопців і 12 дівчат;
• Кластерний відбір: випадково оберіть 1 клас (30 учнів) і опитайте всіх;
• Систематичний відбір: обирайте кожного 10-го учня зі впорядкованого списку.

Підсумок

• Вибірка зменшує зусилля на збір даних і дозволяє робити узагальнення;
• Випадкова та стратифікована вибірка забезпечують найкращу точність;
• Кластерна вибірка ефективна, але найкраще працює, коли кластери подібні;
• Систематична вибірка проста й практична;
• Вибірка за зручністю є ризикованою і її слід уникати, якщо можливо;
• Завжди документуйте метод вибірки у реальному аналізі.