Вивчайте Розуміння Розподілів Ймовірностей

Розподіли ймовірностей

Розподіл ймовірностей показує, наскільки ймовірні різні результати. Для дискретних результатів (наприклад, "скільки дефектних стрижнів") ми перелічуємо ймовірності для кожної можливої кількості. Для неперервних вимірювань (наприклад, довжина або вага) ми описуємо густину на певному проміжку. Загальні формули для дискретних і неперервних випадків:

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{дискретний}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (неперервний)

Приклад (швидка перевірка): Якщо процес гарантує, що всі довжини між 49.5 і 50.5 см однаково ймовірні, ймовірність того, що стрижень потрапить у піддіапазон шириною 0.4 см, дорівнює ширині піддіапазону, поділеній на 1.0 см (це ідея рівномірного розподілу — нижче показано детальніше).

Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл моделює кількість успіхів (наприклад, дефектних стрижнів) у фіксованій кількості незалежних випробувань (наприклад, 100 стрижнів), коли кожне випробування має однакову ймовірність успіху.

Формула:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Приклад:

У партії з $n=100$ стрижнів, де кожен стрижень незалежно має ймовірність $p=0.02$ бути дефектним, яка ймовірність того, що буде рівно $k=3$ дефектних стрижні?

Крок 1 — обчисліть число комбінацій:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Крок 2 — обчисліть степені:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Крок 3 — перемножте всі частини:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Що це означає: Приблизно 18.23% ймовірність отримати рівно 3 дефектних стрижні у вибірці з 100 стрижнів. Якщо ви спостерігаєте 3 дефекти, це правдоподібний результат.

Примітка

Якщо обчислена ймовірність виявилася більшою за 1 або від’ємною, перевірте обчислення комбінацій або степенів. Також порівнюйте значення біноміальної функції розподілу ймовірностей (pmf) із функцією розподілу ймовірностей (cdf), якщо потрібно знайти ймовірність "не більше" або "не менше" певного значення.

Рівномірний розподіл

Рівномірний розподіл моделює неперервну величину, де кожне значення в інтервалі [a,b] є однаково ймовірним (наприклад, допустимий діапазон довжини стрижня).

Формула:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Ймовірність між двома точками:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Приклад:

Параметри: a=49.5, b=50.5. Яка ймовірність того, що довжина стрижня X знаходиться між 49.8 та 50.2? Обчислимо ширину діапазону:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Обчислимо підінтервал:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Ймовірність:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Інтерпретація: Існує 40% ймовірність, що випадково виміряний стрижень потрапить у цей більш вузький допуск.

Примітка

Переконайтеся, що $a<b$ і ваш піддіапазон знаходиться всередині $[a,b]$ ; інакше потрібно обрізати кінцеві точки та вважати ймовірність поза межами діапазону рівною 0.

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл описує неперервні вимірювання, що групуються навколо середнього значення $μ$ зі ступенем розсіювання, який вимірюється стандартним відхиленням $σ$ . Багато вимірювальних похибок і природних варіацій підпорядковуються цій дзвоноподібній кривій.

Формула:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Стандартизація за допомогою z-оцінки:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

Ймовірність між двома значеннями визначається за допомогою кумулятивної функції розподілу (CDF) або симетрії для стандартних випадків:

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Тут $\Phi$ — це стандартна кумулятивна функція нормального розподілу.

Приклад A:

Параметри: $μ=200$ , $σ=5$ , знайти $P(195≤X≤205)$ .

Z-оцінки:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

Використовуючи симетрію нормального розподілу, ймовірність між $−1$ та $+1$ стандартним відхиленням — це відоме правило:

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Інтерпретація: Близько 68.27% мас стрижнів знаходяться в межах ±1 стандартного відхилення від середнього — класичне "правило 68%".

Примітка

Коли межі симетричні відносно використовуйте відомі емпіричні правила ( $68–95–99.7$ ). Для інших меж обчисліть потім скористайтеся таблицею або калькулятором.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 10

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain the difference between discrete and continuous probability distributions again?

How do I know which distribution to use for a given problem?

Can you walk me through another example using one of these distributions?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню

Розподіли ймовірностей

P(X \in A) = \sum_{x \in A}p(x)\quad(\text{дискретний}) \\[6pt] P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx \quad (неперервний)

Біноміальний розподіл

Формула:

P(X = k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}

Приклад:

Крок 1 — обчисліть число комбінацій:

\begin{pmatrix}100 \\ 3\end{pmatrix} = \frac{100!}{3!97!} = 161700

Крок 2 — обчисліть степені:

p^3 = 0.02^3 = 0.000008 \\ (1-p)^{97} = 0.98^{97} \approx 0.1409059532

Крок 3 — перемножте всі частини:

P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.1409059532 \approx 0.182275941

Примітка

Рівномірний розподіл

Формула:

f(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b

Ймовірність між двома точками:

P(l \le X \le u) = \frac{u - l}{b - a}

Приклад:

b-a = 50.5 - 49.5 = 1.0

Обчислимо підінтервал:

u - l = 50.2 - 49.8 = 0.4

Ймовірність:

P(49.8 \le X \le 50.2) = \frac{0.4}{1.0} = 0.4

Інтерпретація: Існує 40% ймовірність, що випадково виміряний стрижень потрапить у цей більш вузький допуск.

Примітка

Нормальний розподіл

Формула:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Стандартизація за допомогою z-оцінки:

z = \frac{x-\mu}{\sigma}

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Тут $\Phi$ — це стандартна кумулятивна функція нормального розподілу.

Приклад A:

Параметри: $μ=200$ , $σ=5$ , знайти $P(195≤X≤205)$ .

Z-оцінки:

z_1 = \frac{195 - 200}{5} = -1 \\[6pt] z_2 = \frac{205 - 200}{5} = 1

P(195 \le X \le 205) \approx 0.6826894921

Примітка

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 10