Вивчайте Основи Розуміння Ймовірності | Ймовірність і Статистика

Визначення

Ймовірність — це міра ймовірності настання певної події. Вона кількісно визначає невизначеність і є важливою у таких галузях, як наука про дані, статистика та машинне навчання, допомагаючи аналізувати закономірності, робити прогнози та оцінювати ризики.

Базове визначення ймовірності

Ймовірність настання події $A$ визначається за формулою:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Ця формула показує, скільки способів може відбутися бажана подія порівняно з усіма можливими результатами. Ймовірність завжди знаходиться в межах від 0 (неможливо) до 1 (напевно).

Розуміння простору подій та подій

Простір подій — всі можливі результати експерименту;
Подія — конкретний результат або набір результатів, які нас цікавлять.

Приклад з підкиданням монети:

Простір подій = {Heads, Tails} ;
Подія A = {Heads} .

Тоді:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Правило об'єднання: «Відбувається A АБО B»

Визначення: об'єднання двох подій $A \cup B$ означає результати, коли відбувається або $A$ , або $B$ , або обидві події одночасно.

Формула:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ми віднімаємо перетин, щоб уникнути подвійного підрахунку результатів, які належать до обох подій.

Приклад об'єднання: кидання грального кубика

Розглянемо кидання шестигранного кубика:

Подія A = {1, 2, 3} (випадає мале число)
Подія B = {2, 4, 6} (випадає парне число)

Об'єднання та перетин:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Покрокові обчислення:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Застосуємо формулу об'єднання:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Правило перетину: «Відбуваються і A, і B»

Визначення: перетин двох подій $A \cap B$ означає результати, коли одночасно відбуваються і $A$ , і $B$ .

Загальна формула

У всіх випадках:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

де $P(B|A)$ — це умовна ймовірність події $B$ за умови, що вже відбулася подія $A$ .

Випадок 1: Незалежні події

Якщо події не впливають одна на одну (наприклад, підкидання монети та кидання грального кубика):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Приклад:

$P(\text{Герб на монеті}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 на кубику}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Випадок 2: Залежні події

Якщо результат першої події впливає на другу (наприклад, витягування карт без повернення):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Приклад:

$P(\text{перша карта — туз}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{друга карта — туз | перша карта була тузом}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 1

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню

Визначення

Базове визначення ймовірності

Ймовірність настання події $A$ визначається за формулою:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Розуміння простору подій та подій

Простір подій — всі можливі результати експерименту;
Подія — конкретний результат або набір результатів, які нас цікавлять.

Приклад з підкиданням монети:

Простір подій = {Heads, Tails} ;
Подія A = {Heads} .

Тоді:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Правило об'єднання: «Відбувається A АБО B»

Формула:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ми віднімаємо перетин, щоб уникнути подвійного підрахунку результатів, які належать до обох подій.

Приклад об'єднання: кидання грального кубика

Розглянемо кидання шестигранного кубика:

Подія A = {1, 2, 3} (випадає мале число)
Подія B = {2, 4, 6} (випадає парне число)

Об'єднання та перетин:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Покрокові обчислення:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Застосуємо формулу об'єднання:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Правило перетину: «Відбуваються і A, і B»

Визначення: перетин двох подій $A \cap B$ означає результати, коли одночасно відбуваються і $A$ , і $B$ .

Загальна формула

У всіх випадках:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

де $P(B|A)$ — це умовна ймовірність події $B$ за умови, що вже відбулася подія $A$ .

Випадок 1: Незалежні події

Якщо події не впливають одна на одну (наприклад, підкидання монети та кидання грального кубика):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Приклад:

$P(\text{Герб на монеті}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 на кубику}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Випадок 2: Залежні події

Якщо результат першої події впливає на другу (наприклад, витягування карт без повернення):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Приклад:

$P(\text{перша карта — туз}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{друга карта — туз | перша карта була тузом}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Тоді:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 5. Розділ 1