Умовна ймовірність

Умовна ймовірність вимірює ймовірність настання події за умови, що інша подія вже відбулася.

Формула:

де:

• $P(A \mid B)$ — «ймовірність A за умови B»;
• $P(A \cap B)$ — ймовірність того, що відбулися і A, і B;
• $P(B)$ — ймовірність того, що відбулася B (повинна бути > 0).

Приклад 1: Умовна ймовірність — Погода та затори

Припустимо:

• Подія A: «Я запізнився на роботу»;
• Подія B: «Йде дощ».

Дано:

• $P(A \cap B) = 0.10$ (10% ймовірність, що йде дощ І я запізнився);
• $P(B) = 0.20$ (20% ймовірність, що йде дощ у будь-який день).

Тоді:

Інтерпретація:
Якщо йде дощ, ймовірність того, що я запізнюся на роботу, становить 50%.

Теорема Байєса

Теорема Байєса допомагає знайти $P(A \mid B)$, коли її важко виміряти безпосередньо, пов'язуючи її з $P(B \mid A)$.

Формула:

Покроковий розбір

Крок 1: Розуміння $P(A \mid B)$
Це читається як «ймовірність A за умови B».

Приклад: Якщо A = «мати захворювання», а B = «отримати позитивний результат тесту», тоді $P(A \mid B)$ означає:
Яка ймовірність того, що людина дійсно має захворювання, якщо тест показав позитивний результат?

Крок 2: Чисельник = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

• $P(B \mid A)$ = ймовірність отримати позитивний результат тесту, якщо є захворювання (чутливість тесту);
• $P(A)$ = апріорна ймовірність A (поширеність захворювання).

Крок 3: Знаменник = $P(B)$
Це загальна ймовірність того, що подія B відбудеться (отримання позитивного результату тесту), як для істинно позитивних, так і для хибнопозитивних результатів.

Розгорнуто:

Де:

• $P(B \mid \neg A)$ = ймовірність хибнопозитивного результату;
• $P(\neg A)$ = ймовірність не мати захворювання.

Теорема Байєса — Медичний тест

Припустимо:

• Подія A: "Наявність захворювання";
• Подія B: "Позитивний результат тесту".

Дано:

• Поширеність захворювання: $P(A) = 0.01$;
• Чутливість: $P(B \mid A) = 0.99$;
• Ймовірність хибнопозитивного результату: $P(B \mid \neg A) = 0.05$.

Крок 1: Обчислення повної ймовірності позитивного результату тесту

Крок 2: Застосування теореми Байєса

Інтерпретація:
Навіть якщо результат тесту позитивний, ймовірність того, що у вас дійсно є захворювання, становить лише близько 16.7% — оскільки захворювання рідкісне, а також існують хибнопозитивні результати.

Основні висновки

• Умовна ймовірність визначає ймовірність події A за умови, що подія B вже відбулася;
• Теорема Байєса дозволяє змінювати умовні ймовірності, оновлюючи наші припущення, коли пряме вимірювання складне;
• Обидва поняття є ключовими в науці про дані, машинному навчанні, медичній діагностиці та прийнятті рішень.