Типи та властивості

1. Тотожна функція

Форма: $f(x) = x$

Властивості:

• Проходить через початок координат $(0, 0)$;
• Пряма лінія з кутовим коефіцієнтом $m = 1$;
• Кожне значення аргументу відображається саме в себе;
• Відсутні максимум і мінімум;
• Область визначення: $(-\infty, \infty)$;
• Область значень: $(-\infty, \infty)$.

Застосування: представлення незмінних даних або як еталон при перетвореннях.

2. Константна функція

Форма: $f(x) = c$

Властивості:

• Горизонтальна пряма при $y = c$;
• Значення функції залишається незмінним для всіх значень аргументу;
• Нахил: $m = 0$;
• Відсутні максимум і мінімум;
• Область визначення: $(-\infty, \infty)$;
• Область значень: ${c}$.

Застосування: представлення фіксованих величин, таких як базові значення або постійні збори.

3. Лінійна функція

Форма: $f(x) = mx + b$

Властивості:

• Пряма з нахилом $m$;
• Зростає при $m > 0$, спадає при $m < 0$;
• X-перетин: $x = -\frac{b}{m}$;
• Y-перетин: $y = b$;
• Відсутні максимум і мінімум;
• Область визначення: $(-\infty, \infty)$;
• Область значень: $(-\infty, \infty)$.

Застосування: прогнозування неперервних результатів, таких як дохід або витрати.

4. Поліноміальна функція (квадратичний приклад)

Форма: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Властивості:

• Параболічна крива (U-подібна при $a > 0$; перевернута U при $a < 0$);
• Вершина при $x = -\frac{b}{2a}$;
• X-перетини (корені): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Y-перетин: $f(0) = c$;
• Область визначення: $(-\infty, \infty)$;
• Область значень:
• Якщо $a > 0$, то $[y_{vertex}; \infty)$;
  • Якщо $a < 0$, то $(-\infty; y_{vertex}]$.

Застосування: апроксимація кривих, регресійні моделі та опис нелінійних тенденцій.

5. Раціональна функція

Форма: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Приклад: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Властивості:

• Вертикальна асимптота при $x = 1$;
• Горизонтальна асимптота при $y = 0$;
• Не визначена при $x = 1$;
• Різке зростання та спадання поблизу асимптоти;
• Область визначення: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Множина значень: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Застосування: моделювання обмежених систем, таких як швидкість зміни або використання ресурсів.