Трансцендентні Функції

Типи та властивості

1. Експоненціальна функція

Форма:

• $a$: амплітуда, масштабує криву по вертикалі;
• $b$: коефіцієнт зростання або спадання, визначає швидкість збільшення або зменшення функції;
• $c$: горизонтальне зміщення, переміщує криву ліворуч або праворуч;
• $d$: вертикальне зміщення, переміщує графік вгору або вниз.

Властивості:

• Швидко зростає при $b > 0$;
• Зменшується до нуля при $b < 0$;
• Завжди додатна для всіх $x$;
• Проходить через точку $(c, a + d)$;
• Область визначення: $(-\infty, \infty)$;
• Область значень: $(d, \infty)$ якщо $a > 0$, або $(-\infty, d)$ якщо $a < 0$.

Застосування: моделювання зростання популяції, радіоактивного розпаду та складних відсотків.

2. Логарифмічна функція

Форма:

• $a$: амплітуда, розтягує або стискає криву по вертикалі;
• $b$: основа, визначає швидкість зростання або спадання;
• $c$: горизонтальне зміщення, переміщує графік ліворуч або праворуч;
• $d$: вертикальне зміщення, переміщує графік вгору або вниз.

Властивості:

• Визначена лише для $x > c$;
• Повільно зростає при збільшенні $x$;
• Прямує до мінус нескінченності поблизу $x = c$;
• Проходить через точку $(c + 1, d)$;
• Область визначення: $(c, \infty)$;
• Область значень: $(-\infty, \infty)$.

Застосування: вимірювання даних із мультиплікативною зміною, таких як pH, інтенсивність звуку або магнітуда землетрусу.

3. Тригонометрична функція

Форма:

де $\text{trig}$ може бути $\sin$, $\cos$ або $\tan$.

• $a$: амплітуда, визначає висоту хвилі;
• $b$: кількість циклів, визначає, скільки коливань відбувається за період;
• $c$: горизонтальний зсув, переміщує хвилю вліво або вправо;
• $d$: вертикальний зсув, переміщує графік вгору або вниз.

Властивості:

• Синус і косинус: періодично коливаються між $-a + d$ та $a + d$;
• Тангенс: повторюється кожні $\pi$ та має вертикальні асимптоти при $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Усі є періодичними та неперервними у своїх областях визначення;
• Область визначення та область значень:
  • $\sin(x), \cos(x)$: область визначення $(-\infty, \infty)$, область значень $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: область визначення $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, область значень $(-\infty, \infty)$.

Застосування: моделювання циклів і коливань у обробці сигналів, фізиці та інженерії.