Summary  
This chapter explains how to implement core matrix operations—addition, subtraction, non-element-wise multiplication via dot product, transposition, and inversion—using NumPy arrays in Python.

General domain of usage  
Scientific computing

## 1. Додавання та віднімання

Дві матриці $$A$$ і $$B$$ однакової форми можна додавати:


import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4],
              [7, 8]])

C = A + B  
print(f'C:\n{C}')    # C = [[4, 6], [12, 14]]

## 2. Правила множення

Множення матриць **не є покомпонентним**.

Правило: якщо $$A$$ має форму $$(n, m)$$, а $$B$$ має форму $$(m, l)$$, то результат має форму $$(n, l)$$.



import numpy as np

# Example random matrix 3x2
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(f'A:\n{A}')

# Example random matrix 2x4 
B = np.array([[11, 12, 13, 14],
              [15, 16, 17, 18]])
print(f'B:\n{B}')

# product shape (3, 4)
product = np.dot(A, B)     
print(f'np.dot(A, B):\n{product}')

# or equivalently
product = A @ B
print(f'A @ B:\n{product}')

## 3. Транспонування

Транспонування змінює місцями рядки та стовпці.

Загальне правило: якщо $$A$$ має розмір $$(n \times m)$$, то $$A^T$$ має розмір $$(m \times n)$$.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A_T = A.T  # Transpose of A
print(f'A_T:\n{A_T}')

## 4. Обернена матриця

Матриця $$A$$ має обернену $$A^{-1}$$, якщо:

$$
A \cdot A^{-1} = I
$$

Де $$I$$ — одинична матриця.

Не всі матриці мають обернену. Матриця повинна бути квадратною та повного рангу.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

A_inv = np.linalg.inv(A)   # Inverse of A
print(f'A_inv:\n{A_inv}')

I = np.eye(2)              # Identity matrix 2x2
print(f'A x A_inv = I:\n{np.allclose(A @ A_inv, I)}')  # Check if product equals identity

Яким буде вивід цього коду Python?

Опановуйте математичні основи, необхідні для науки про дані. Досліджуйте ключові поняття функцій, математичного аналізу, лінійної алгебри, теорії ймовірностей та зниження розмірності. Формуйте як теоретичне розуміння, так і практичний досвід програмування для підвищення здатності аналізувати дані, моделювати складні системи та застосовувати сучасні методи машинного навчання.

Ознайомлення з основами математичних функцій. Вивчення різних типів алгебраїчних і трансцендентних функцій, їх властивостей і реалізації у Python для розв'язання прикладних задач.

Опанування понять множин і рядів: від базових операцій до практичного застосування. Практичний досвід реалізації операцій над множинами та роботи з арифметичними й геометричними рядами в Python.

Сформуйте ґрунтовне розуміння границь, похідних, інтегралів і часткових похідних. Поєднання теорії з практикою шляхом реалізації цих понять у Python та їх застосування до оптимізації за допомогою градієнтного спуску.

Сформуйте ґрунтовні знання про вектори, матриці та перетворення. Вивчайте методи декомпозиції та аналіз власних значень, закріплюючи концепції за допомогою завдань з програмування на Python і практичних застосувань у науці про дані.

Занурення в теорію ймовірностей і статистику. Вивчення умовної ймовірності, теореми Байєса та статистичних мір. Реалізація основних концепцій у Python, моделювання розподілів і вдосконалення навичок за допомогою завдань і вікторин.

Операції з Матрицями в Python

1. Додавання та віднімання

2. Правила множення

3. Транспонування

4. Обернена матриця